Función raíz cuadrada: 10 ejercicios resueltos y ejemplos

En la interesante área del cálculo, uno de los conceptos más fundamentales es la función raíz cuadrada. Esta función, que se denota comúnmente como √x, se utiliza en una amplia gama de aplicaciones matemáticas y científicas. Desde calcular distancias en el plano cartesiano hasta resolver problemas en la física, la función raíz cuadrada juega un papel esencial en diversas disciplinas. Para aquellos que buscan profundizar en este tema, hemos recopilado una serie de raíz cuadrada ejercicios que no solo te ayudarán a entender su funcionamiento, sino también a aplicarlo en diferentes contextos.

Un aspecto interesante de la función raíz cuadrada es su restricción en el dominio de valores que puede tomar. Dado que no podemos calcular la raíz cuadrada de un número negativo dentro de los números reales, el dominio de la función está limitado a los números reales no negativos (x ≥ 0).

¿Qué es la función raíz cuadrada?

La función raíz cuadrada es una función matemática que se expresa como f(x) = √x. Esta función toma un número real x como entrada y devuelve su raíz cuadrada. Por ejemplo, si introducimos 4 como entrada, la función devuelve 2, ya que 2 es el número que al elevarse al cuadrado (2^2) nos da 4. Esta propiedad de la raíz cuadrada es fundamental, ya que nos ayuda a entender su aplicación en varios problemas matemáticos.

Las raíces cuadradas son especialmente útiles en álgebra, geometría y cálculo. También son una herramienta esencial en la resolución de ecuaciones cuadráticas, la simplificación de expresiones y el análisis gráfico. Es crucial tener claro cómo funcionan las raíces cuadradas para abordar problemas más complejos que involucren funciones que incluyen funciones con raíz.

Dominio y rango de la función raíz cuadrada

Dominio

El «dominio» de la función raíz cuadrada está limitado a valores no negativos. En otras palabras, la función solo acepta entradas x ≤ 0. Esto se debe a que no se puede calcular una raíz cuadrada de un número negativo en el ámbito de los números reales, lo que significa que la gráfica de la función no incluye valores de x por debajo de cero. En notación de intervalos, el dominio puede expresarse como [0, ∞).

Rango

El «rango» de la función raíz cuadrada también comienza desde cero e incluye todos los valores positivos, pues a medida que x aumenta, √x también aumenta. Por lo tanto, el rango puede expresarse como [0, ∞), indicando que todos los valores de salida son también no negativos. Esta relación entre el dominio y el rango resalta la naturaleza de crecimiento creciente de la función.

Propiedades de la función raíz cuadrada

La función raíz cuadrada tiene varias propiedades notables que la diferencian de otras funciones matemáticas. A continuación, mencionamos las más relevantes:

• Crecimiento Monótono: La función está siempre en aumento, lo que significa que a medida que x aumenta, √x también aumenta.
• Valor en el Origen: La función intercepta el origen en el punto (0,0).
• Paridad: La función raíz cuadrada es una función impar, es decir, f(-x) no está definido dentro de su dominio.
• Continuidad: La función es continua en su dominio, lo que significa que no tiene interrupciones o saltos.
• Diferenciabilidad: La función es diferenciable en su dominio, excepto en x = 0, donde su derivada no está definida.

Gráfica de la función raíz cuadrada

La gráfica de la función raíz cuadrada es una curva que comenzando en el punto (0,0) se extiende indefinidamente hacia la derecha, formando una forma de «S» al lado derecho del eje x. Esta forma indica la creciente naturaleza de la función: a medida que x aumenta, y también aumentan los valores de la raíz cuadrada. A continuación se describen algunos aspectos clave de la gráfica:

• Intercepta el eje y en (0,0).
• No hay valores negativos en el eje y.
• La curva se aleja del origen a medida que x aumenta.

Ejercicio 1: Evaluación directa

Para entender mejor la función raíz cuadrada, comencemos con un ejercicio simple de evaluación directa. El objetivo aquí es evaluar la función en un valor dado.

Ejercicio: Evalúa √16.
Solución: √16 = 4, pues 4 x 4 = 16. Este ejercicio simple ayuda a establecer una base en el uso de la raíz cuadrada en cálculos directos.

Ejercicio 2: Dominio y rango

Ahora, consideremos un ejercicio relacionado con el dominio y el rango de la función raíz cuadrada.

Ejercicio: Determina el dominio y el rango de la función f(x) = √(x – 3).
Solución: Para encontrar el dominio, establecemos que x – 3 ≥ 0 → x ≥ 3. Así, el dominio es [3, ∞). En cuanto al rango, dado que el valor mínimo de f(3) = 0, el rango es [0, ∞).

Ejercicio 3: Intersecciones con el eje x

El siguiente ejercicio nos ayudará a identificar las intersecciones de la función raíz cuadrada con el eje x.

Ejercicio: Encuentra las intersecciones con el eje x de la función f(x) = √(x – 1).
Solución: Para encontrar la intersección, igualamos la función a cero: √(x – 1) = 0 → x – 1 = 0 → x = 1. Por lo tanto, la intersección con el eje x es el punto (1, 0).

Ejercicio 4: Intersecciones con el eje y

A continuación, determinaremos las intersecciones con el eje y, un aspecto clave en el análisis gráfico de la función raíz cuadrada.

Ejercicio: Encuentra la intersección con el eje y de la función f(x) = √(x + 4).
Solución: La intersección con el eje y se encuentra evaluando f(0): f(0) = √(0 + 4) = 2. Por lo tanto, la intersección con el eje y es (0, 2).

Ejercicio 5: Aplicaciones en problemas reales

Las raíces cuadradas tienen varias aplicaciones en problemas del mundo real. A continuación presentamos un ejercicio práctico.

Ejercicio: Un cuadrado tiene un área de 81 cm². ¿Cuál es la longitud de un lado?
Solución: La longitud de un lado del cuadrado se obtiene al calcular la raíz cuadrada del área: √81 = 9 cm. Por lo tanto, cada lado del cuadrado mide 9 cm.

Ejercicio 6: Composición de funciones

La composición de funciones es un concepto vital en el cálculo que también se puede aplicar a la función raíz cuadrada.

Ejercicio: Si f(x) = √x y g(x) = x + 1, encuentra (f ∘ g)(x).
Solución: ((f ∘ g)(x) = f(g(x)) = f(x + 1) = √(x + 1)). La composición resulta en la función √(x + 1).

Ejercicio 7: Transformaciones de la función

Las transformaciones de funciones también son esenciales para el entendimiento de la función raíz cuadrada.

Ejercicio: Determina la transformación de la función f(x) = √x cuando se aplica g(x) = √(x – 2) + 3.
Solución: Aquí, la función se desplaza 2 unidades hacia la derecha y 3 unidades hacia arriba. El nuevo vértice es (2, 3).

Ejercicio 8: Resolviendo ecuaciones con raíces cuadradas

La resolución de ecuaciones que contienen raíces cuadradas es otro aspecto importante en el trabajo con la función raíz cuadrada.

Ejercicio: Resuelve la ecuación √(x + 5) = 3.
Solución: Elevamos al cuadrado ambos lados: x + 5 = 9 → x = 4. Por lo tanto, la solución de la ecuación es x = 4.

Ejercicio 9: Descomposición y simplificación

A veces es necesario descomponer expresiones que involucran raíces cuadradas.

Ejercicio: Simplifica √(36x²).
Solución: √(36x²) = 6x, usando leyes de raíces cuadradas que indican que √a² = a, donde a ≥ 0.

Ejercicio 10: Reto final

Como cierre de nuestra serie de raíz cuadrada ejercicios, proponemos un reto final que permite poner en práctica todos los conocimientos adquiridos.

Ejercicio: Resuelve la ecuación √(2x – 4) + 1 = 5.
Solución: Restamos 1 de ambos lados: √(2x – 4) = 4. Elevamos al cuadrado: 2x – 4 = 16 → 2x = 20 → x = 10. La solución es x = 10.

Conclusión y próximos pasos

La comprensión de la función raíz cuadrada es crucial en el estudio del cálculo y otras disciplinas matemáticas. A través de estos 10 ejemplos de raíz cuadrada resueltos, hemos analizado no solo cómo se define esta función, sino también su aplicabilidad práctica en diferentes situaciones. Es importante continuar practicando estos conceptos a través de raíz cuadrada ejercicios adicionales y explorando problemas más complejos que desafíen tu entendimiento.

Recursos adicionales: Videos y guías teóricas

Para aquellos que deseen profundizar más en la función raíz cuadrada, se recomienda consultar recursos adicionales, incluyendo videos y guías teóricas disponibles en línea. Estos materiales pueden proporcionar ejemplos más elaborados y ejercicios adicionales para reforzar tus habilidades con la raíz cuadrada y sus aplicaciones.

La función raíz cuadrada es un concepto fundamental que no solo se usa en matemáticas, sino que también tiene aplicaciones prácticas en diversas áreas. A medida que continúas tu estudio y práctica de raíz cuadrada ejercicios, te acercarás cada vez más a dominar esta poderosa herramienta matemáticas.