Función valor absoluto: Ejercicios resueltos y ejemplos

La función valor absoluto es un concepto fundamental en matemáticas que encuentra aplicación en diversas áreas, desde la resolución de ecuaciones hasta la representación gráfica. Su estudio es esencial, especialmente en el curso de Cálculo, donde se trata de manera profunda y con ejemplos claros. La función valor absoluto se define como f(x) = |x|, lo que significa que representa la distancia de un número al cero en la recta numérica. Esta propiedad es clave, ya que nos permite entender y aplicar esta función en diversas situaciones. Por ejemplo, simplificando, podemos ver que |-23| = 23 y |0| = 0, lo que resalta cómo se comporta la función con diferentes números.

Además de su definición, el conocimiento sobre la función valor absoluto nos permite explorar sus propiedades y cómo se grafican. La función es bastante intuitiva, ya que todos los valores por debajo del eje x se reflejan hacia arriba, creando una forma en «V» en el gráfico. Vamos a guiarlos en cada paso, asegurando que todos puedan dominar el tema y practicar lo aprendido mediante un reto final.

¿Qué es la función valor absoluto?

La función valor absoluto es una función matemáticamente definida como:

f(x) = |x|

Esta simple ecuación contiene un concepto crucial: el valor absoluto de un número es su distancia a cero en la recta numérica, sin considerar la dirección. Esto significa que:

• Para cualquier número positivo o cero, el valor absoluto será el mismo que el número original, es decir, |x| = x si x ≥ 0.
• Para cualquier número negativo, el valor absoluto será el opuesto del número, es decir, |x| = -x si x < 0.

Por lo tanto, su representación gráfica siempre se ubicará en la parte superior del eje horizontal (eje x), asegurando que los valores sean no negativos.

Propiedades de la función valor absoluto

El estudio de la función valor absoluto implica conocer varias propiedades importantes que la caracterizan y la hacen útil en diversas aplicaciones matemáticas. Algunas de las propiedades más importantes son:

1. Propiedad de no negatividad: Siempre f(x) = |x| ≥ 0 para cualquier valor de x.
2. Propiedad de identidades: |a| = a si a ≥ 0 y |a| = -a si a < 0.
3. Propiedad de la aditividad: |a + b| ≤ |a| + |b|, que se conoce como la desigualdad triangular.
4. Propiedad del tipo de valor absoluto: La función valor absoluto es continua en todos los números reales.
5. Propiedad de la simetría: La gráfica de f(x) = |x| es simétrica respecto al eje y.

Estas propiedades no solo ayudan a entender la función valor absoluto, sino que también son esenciales cuando se trabaja con ecuaciones y funciones que involucran valores absolutos.

Ejemplos ilustrativos de la función valor absoluto

Para aclarar cómo funciona la función valor absoluto en diferentes situaciones, veamos algunos ejemplos ilustrativos:

Ejemplo 1: Calcular el valor absoluto

Calculemos el valor absoluto de algunos números:

• |5| = 5
• |-5| = 5
• |15| = 15
• |-15| = 15
• |0| = 0

En todos los casos, se observa cómo la función valor absoluto transforma números negativos a positivos y mantiene los números no negativos sin cambios.

Ejemplo 2: Aplicaciones prácticas

Imaginemos que estamos midiendo distancias. Si una persona se encuentra a 7 metros al este de un punto de referencia y otra a 3 metros al oeste, la distancia entre ambas se puede calcular mediante la función valor absoluto:

Distancia = |7 – (-3)| = |7 + 3| = |10| = 10 metros.

Cómo graficar la función valor absoluto

La gráfica de la función valor absoluto se representa como una «V» invertida. Para graficar f(x) = |x|, sigue estos pasos:

1. Elige varios valores de x y calcula f(x).
2. Construye una tabla de valores.
3. Plotea los puntos en el plano cartesiano.
4. Conecta los puntos, asegurando que la gráfica forme una «V» en el origen (0,0).

A continuación, presentamos algunos puntos para construir esta gráfica:

Tabla de valores:

x	f(x) = |x|
-3	3
-2	2
-1	1
0	0
1	1
2	2
3	3

Al graficar estos puntos y conectar los extremos, obtendremos la característica «V» en la gráfica de la función valor absoluto.

Ejercicios básicos de la función valor absoluto

Para practicar lo que hemos aprendido hasta ahora, aquí tienes algunos ejercicios básicos de la función valor absoluto. Trata de resolver los siguientes problemas:

1. Calcular los siguientes valores de la función valor absoluto:
   • a) |8|
   • b) |-3|
   • c) |12|
   • d) |-15|
2. Si f(x) = |x – 4|, calcula f(2) y f(6).
3. Grafica la función valor absoluto para los valores de x en el intervalo [-5, 5].

Recuerda que la práctica es clave para dominar la función valor absoluto y sus propiedades.

Ejercicios intermedios de la función valor absoluto

Pasemos a unos ejercicios intermedios para seguir avanzando en el aprendizaje de la función valor absoluto:

1. Resuelve la ecuación |x + 3| = 7.
2. Encuentra los valores de x que hacen que la expresión |2x – 4| = 8 tenga sentido.
3. Calcula f(x) para f(x) = |x^2 – 9| para x = -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.

Asegúrate de mostrar todos los pasos de tus soluciones para entender mejor el proceso de resolución de la función valor absoluto.

Ejercicios avanzados de la función valor absoluto

Ya que hemos cubierto ejercicios básicos e intermedios, vamos a realizar algunos ejercicios avanzados utilizando la función valor absoluto:

1. Resuelve la inecuación |x – 1| < 4 y grafica la solución en la recta numérica.
2. Determina el valor de x si |3x + 5| = 11.
3. Investiga la función f(x) = |x^2 – 4x + 3| y determina sus puntos de intersección con el eje x.

La resolución de estos ejercicios ayudará a consolidar tus conocimientos sobre la función valor absoluto y su aplicación en problemas más complejos.

Resolución de ejercicios: paso a paso

Es fundamental entender cada paso al resolver ejercicios que involucren la función valor absoluto. Veamos un ejemplo paso a paso:

Ejemplo: Resolviendo la ecuación |x – 2| = 5

Para resolver esta ecuación, seguimos estos pasos:

1. Descomponemos la ecuación en dos casos:
   • Case 1: x – 2 = 5
   • Case 2: x – 2 = -5
2. Resolviendo el primer caso: x – 2 = 5.
   • x = 5 + 2
   • x = 7
3. Resolviendo el segundo caso: x – 2 = -5.
   • x = -5 + 2
   • x = -3
4. Por lo tanto, las soluciones son x = 7 y x = -3.

Este ejercicio ilustra cómo trabajar de forma sistemática con la función valor absoluto.

Reto final: Aplicando lo aprendido

Ahora que hemos revisado la teoría, ejemplos y ejercicios, es momento de poner a prueba tus habilidades con un reto final. Resolver los siguientes problemas utilizará todo lo que has aprendido sobre la función valor absoluto:

1. Resuelve la inecuación |2x – 3| ≥ 5.
2. Encuentra el valor de x cuando |x + 4| + |x – 1| = 9.
3. Determina l triángulo formado por los puntos (0,0), (4,0) y (2,|2-4|).

Escribe todas las soluciones y prepárate para discutirlas en clase. Este reto final es una excelente manera de consolidar tu comprensión de la función valor absoluto y de demostrar tus habilidades.

Conclusiones y recursos adicionales

La función valor absoluto es un concepto clave en matemáticas, esencial para comprender la distancia, la resolución de ecuaciones y la representación gráfica. A través de diversos ejemplos y ejercicios, hemos profundizado en sus propiedades y aplicaciones.

Si deseas continuar aprendiendo sobre las funciones con valor absoluto, te recomendamos consultar recursos adicionales como libros de cálculo, tutoriales en línea, o plataformas educativas que ofrezcan práctica interactiva.

Recuerda que dominar la función valor absoluto abre la puerta a una mayor comprensión de conceptos matemáticos avanzados. ¡Sigue practicando y explorando!