Función lineal: Ejercicios resueltos y ejemplos prácticos

Componentes de la ecuación: m y b

La ecuación de la función lineal consta de dos componentes cruciales: la pendiente m y el intercepto b. La pendiente indica la inclinación de la línea. Si m es positiva, la función será creciente, lo que significa que a medida que x aumenta, y también lo hace. Si m es negativa, la función será decreciente. Finalmente, cuando m es igual a cero, la función es constante y se representa como una línea horizontal en el gráfico.

El valor de b indica el punto donde la línea cruza el eje y. Este punto es importante ya que proporciona un punto de referencia inicial para trazar la línea en el gráfico. Por ejemplo, si b = 3, la línea intersectará el eje y en el punto (0,3).

Comportamiento de la pendiente

El comportamiento de la pendiente m tiene un impacto significativo en la forma y dirección de la función lineal. Analicemos cada uno de los casos:

• Incremento positivo (m > 0): La línea ascendiente indica que a medida que x aumenta, y también aumenta. Esto refleja situaciones en la vida real como un aumento en las ventas a medida que se incrementa la publicidad.
• Incremento negativo (m < 0): En este caso, la pendiente es decreciente y muestra que a medida que x incrementa, y disminuye. Un ejemplo práctico podría ser el costo que disminuye conforme aumentan las compras al por mayor.
• Incremento nulo (m = 0): La función es constante, lo que significa que no hay cambios en y a pesar de los cambios en x. Este modelo es útil en escenarios donde los precios se mantienen fijos.

Dominio y rango de funciones lineales

El dominio y rango de una función lineal es un aspecto esencial a considerar al analizar esta relación. Para la mayoría de las funciones lineales, tanto el dominio como el rango abarcan todos los números reales, es decir, (-∞, ∞) . Esto significa que puedes elegir cualquier valor de x y se generará un valor correspondiente de y. Sin embargo, hay una excepción importante: cuando se trata de funciones constantes (donde m = 0), el rango estará restringido a un solo valor.

Cálculo de la pendiente

Calcular la pendiente m de una función lineal entre dos puntos es un proceso sencillo. Si tenemos dos puntos en el plano: (x1, y1) y (x2, y2), la fórmula para calcular la pendiente es:

m = (y2 – y1) / (x2 – x1)

Este cálculo nos permite entender cómo cambia y respecto a los cambios en x. Por ejemplo, si tenemos los puntos (1, 2) y (3, 6), aplicaríamos la fórmula de la pendiente de la siguiente manera:

m = (6 – 2) / (3 – 1) = 4 / 2 = 2

Encontrar la ecuación de la recta

Encontrar la ecuación de una recta a partir de dos puntos requiere calcular primero la pendiente. Luego, se puede utilizar uno de los puntos y la pendiente en la fórmula de la función lineal. Usando el ejemplo anterior con (1, 2) y (3, 6):

1. Calculamos la pendiente: m = 2
2. Usamos el punto (1, 2) y la pendiente en la ecuación y – y1 = m(x – x1)
3. Reemplazamos los valores: y – 2 = 2(x – 1)
4. Distribuimos y simplificamos: y = 2x + 0

La ecuación de la recta resultante es y = 2x.

Ejemplos prácticos

Para afianzar el conocimiento sobre las funciones lineales, aquí te presentamos algunos ejemplos de funciones lineales que muestran cómo se aplican:

• Ejemplo 1: Una tienda vende camisetas a $20 cada una. La ecuación que representa el costo total y en función del número de camisetas x es y = 20x.
• Ejemplo 2: La altura de una planta crece 5 cm por semana. Si su altura inicial es de 10 cm, la ecuación es y = 5x + 10, donde x es el número de semanas.
• Ejemplo 3: Un coche se mueve a una velocidad constante de 60 km/h. La distancia y recorrida es y = 60x, donde x es el tiempo en horas.

Ejercicios resueltos

A continuación, se presentan algunos ejercicios de función lineal resueltos:

1. Problema: Encuentra la pendiente entre los puntos (2, 4) y (6, 10).
2. Solución: m = (10 – 4) / (6 – 2) = 6 / 4 = 1.5

1. Problema: ¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por el punto (1, 3) y tiene una pendiente de 2?
2. Solución: Usando la fórmula y – y1 = m(x – x1): y – 3 = 2(x – 1) ⟹ y = 2x + 1

Niveles de dificultad

Para facilitar el aprendizaje, se han organizado diferentes ejercicios funciones lineales en tres niveles de dificultad:

• Fácil: Identificarse la pendiente y el intercepto de la ecuación.
• Intermedio: Calcular la pendiente entre dos puntos y encontrar la ecuación de la recta.
• Avanzado: Resolver problemas de funciones lineales aplicando la representación gráfica.

Recursos adicionales para practicar

Para aquellos que busquen profundizar en las funciones lineales ejercicios, aquí hay algunos recursos adicionales:

• Khan Academy – Funciones Lineales
• Ejercicios de Funciones Lineales en PDF
• Educapy – Ejercicios para Practicar

Conclusiones sobre las funciones lineales

Las funciones lineales son un pilar fundamental en el estudio de las matemáticas. Además de ser una de las formas más simples de funciones, permiten modelar una amplia variedad de situaciones en el mundo real mediante la expresión y = mx + b. Es vital comprender los componentes de la ecuación, así como ser capaz de calcular la pendiente y el intercepto de la recta.

Los ejercicios de función lineal presentados Con el conocimiento adecuado, podrás abordar problemas de funciones lineales con confianza y éxito.

Esperamos que este artículo sobre funciones lineales te haya proporcionado una comprensión sólida. Te invitamos a seguir practicando y explorando más sobre este esencial tema matemático.