Función compuesta: Ejercicios resueltos para practicar

La función compuesta es un concepto fundamental en matemática que permite combinar dos o más funciones para crear una nueva. Este procedimiento, también conocido como composición de funciones, tiene aplicaciones en diferentes áreas del conocimiento y es esencial para entender diversos fenómenos en la ciencia y la ingeniería.
Así, podrás practicar y afianzar conocimientos previos, así como adquirir nuevas habilidades en la resolución de problemas relacionados con la función compuesta.
Contenido
- 1 ¿Qué es la función compuesta?
- 2 Notación y Representación de la Composición de Funciones
- 3 Repaso de Conceptos Previos
- 4 Dominio de la Función Compuesta
- 5 Ejercicios Básicos de Funciones Compuestas
- 6 Ejercicios Intermedios: Práctica Guiada
- 7 Ejercicios Avanzados: Desafíos Complejos
- 8 Reto Práctico: Asegurando tu Comprensión
- 9 Soluciones a los Ejercicios
- 10 Conclusión y Recursos Adicionales sobre Funciones
¿Qué es la función compuesta?
La función compuesta es el resultado de aplicar una función a los resultados de otra. Matricialmente, esto se representa como ( (f circ g)(x) = f(g(x)) ), donde ( f ) y ( g ) son funciones y ( x ) es la variable independiente. Esta operación es esencial para la manipulación algebraica y permite simplificar expresiones matemáticas complejas.
Ejemplo de función compuesta
Consideremos las funciones ( f(x) = 2x + 3 ) y ( g(x) = x^2 ). Si deseamos encontrar la función compuesta ( (f circ g)(x) ), sustituimos ( g(x) ) en ( f ):
( (f circ g)(x) = f(g(x)) = f(x^2) = 2(x^2) + 3 = 2x^2 + 3 ).
Notación y Representación de la Composición de Funciones
La notación para la composición de funciones suele variar, pero la más común es ( f(g(x)) ) o ( (f circ g)(x) ). Esta notación indica que en primer lugar se evalúa la función ( g ) en ( x ), y luego se aplica la función ( f ) al resultado de ( g ). La representación gráfica también puede ser muy útil, ya que te permite observar cómo cada función afecta el resultado final.
Repaso de Conceptos Previos
Antes de entrar en los ejercicios, es importante repasar algunos conceptos clave que son fundamentales para entender la función compuesta:
- Funciones: Relación matemática entre dos conjuntos donde a cada elemento del primer conjunto se le asigna uno y solo uno del segundo.
- Dominio: El conjunto de valores de entrada (o ( x )) para los cuales la función está definida.
- Rango: El conjunto de todos los valores de salida posibles (o ( y )) que puede tomar una función.
Dominio de la Función Compuesta
El dominio de una función compuesta es un aspecto crítico a considerar antes de resolver problemas. Para determinar el dominio de ( (f circ g)(x) ), necesitamos conocer dos cosas:
- El dominio de ( g(x) ).
- Los valores que ( g(x) ) debe tomar para que ( f(g(x)) ) esté definido.
Por ejemplo, si ( g(x) ) está definida solo para ( x > 0 ) y ( f(x) ) tiene restricciones adicionales, debemos considerar ambas para determinar el dominio de la composición. Esto se convierte en un proceso de verificación.
Ejercicios Básicos de Funciones Compuestas
Vamos a comenzar con algunos ejercicios básicos para practicar la composición de funciones. Estos ejercicios permitirán familiarizarte con la notación y el proceso de cálculo.
Ejercicio 1:
Dadas las funciones ( f(x) = x + 5 ) y ( g(x) = 2x ), calcula ( (f circ g)(x) ).
Solución:
( (f circ g)(x) = f(g(x)) = f(2x) = 2x + 5 ).
Ejercicio 2:
Dadas las funciones ( f(x) = x^2 ) y ( g(x) = x – 1 ), encuentra ( (f circ g)(x) ).
Solución:
( (f circ g)(x) = f(g(x)) = f(x – 1) = (x – 1)^2 = x^2 – 2x + 1 ).
Ejercicios Intermedios: Práctica Guiada
Ahora, abordaremos ejercicios de dificultad intermedia en la composición de funciones. Estos problemas incluirán tanto el cálculo de la composición como la determinación del dominio.
Ejercicio 3:
Supón que ( f(x) = sqrt{x} ) y ( g(x) = x^2 – 4 ). Encuentra ( (f circ g)(x) ) y el dominio de la función compuesta.
Solución:
( (f circ g)(x) = f(g(x)) = f(x^2 – 4) = sqrt{x^2 – 4} ).
Para encontrar el dominio, debemos resolver la inecuación ( x^2 – 4 geq 0 ), lo que resulta en ( x leq -2 ) o ( x geq 2 ). Por lo tanto, el dominio de ( (f circ g)(x) ) es ( (-infty, -2] cup [2, infty) ).
Ejercicio 4:
Dadas las funciones ( f(x) = ln(x) ) y ( g(x) = e^x ), calcula ( (f circ g)(x) ) y determina el dominio de la función compuesta.
Solución:
( (f circ g)(x) = f(g(x)) = f(e^x) = ln(e^x) = x ).
El dominio de ( e^x ) es ( (-infty, infty) ), ya que se define para todos los números reales.
Ejercicios Avanzados: Desafíos Complejos
Ahora que hemos practicado problemas básicos e intermedios, pasemos a ejercicios avanzados que representan un verdadero desafío en la composición de funciones.
Ejercicio 5:
Si ( f(x) = frac{1}{x} ) y ( g(x) = x^2 + 1 ), halla ( (f circ g)(x) ) y el dominio de la función compuesta.
Solución:
( (f circ g)(x) = f(g(x)) = f(x^2 + 1) = frac{1}{x^2 + 1} ).
El dominio de ( g(x) ) es todo ( mathbb{R} ), pero ( f(x) ) no tiene restricciones en este caso, así que el dominio de la composición es ( (-infty, infty) ).
Ejercicio 6:
Con ( f(x) = x^3 – 3x + 2 ) y ( g(x) = sin(x) ), encuentra ( (f circ g)(x) ) y discute el dominio de la función compuesta.
Solución:
La composición se da como sigue:
( (f circ g)(x) = f(g(x)) = f(sin(x)) = (sin(x))^3 – 3sin(x) + 2 ).
El dominio de ( sin(x) ) es ( (-infty, infty) ), por lo tanto ( (f circ g)(x) ) también tendrá dominio ( (-infty, infty) ).
Reto Práctico: Asegurando tu Comprensión
Este reto es una oportunidad para comprobar tus conocimientos sobre la función compuesta. Intenta resolver el siguiente problema por tu cuenta:
Reto:
Sean las funciones ( f(x) = 2^x ) y ( g(x) = x – 3 ). Halla ( (f circ g)(x) ) y determina el dominio de la función compuesta.
Solución del reto: Si ( (f circ g)(x) = 2^{(x – 3)} ); el dominio de ( g(x) ) es todo ( mathbb{R} ), por lo tanto, el dominio de ( (f circ g)(x) ) es también ( (-infty, infty) ).
Soluciones a los Ejercicios
A continuación, se presentan las soluciones resumen de los ejercicios planteados Revisa tus cálculos y asegúrate de comprender cada paso del proceso de composición.
- Ejercicio 1: ( (f circ g)(x) = 2x + 5 )
- Ejercicio 2: ( (f circ g)(x) = x^2 – 2x + 1 )
- Ejercicio 3: ( (f circ g)(x) = sqrt{x^2 – 4} ); Dominio: ( (-infty, -2] cup [2, infty) )
- Ejercicio 4: Dominio: ( (-infty, infty) )
- Ejercicio 5: ( (f circ g)(x) = frac{1}{x^2 + 1} ); Dominio: ( (-infty, infty) )
- Ejercicio 6: ( (f circ g)(x) = (sin(x))^3 – 3sin(x) + 2 ); Dominio: ( (-infty, infty) )
Conclusión y Recursos Adicionales sobre Funciones
La función compuesta es una herramienta poderosa en la matemáticas que abre las puertas a una comprensión más profunda de cómo las funciones interactúan entre sí. A través de los ejercicios, hemos analizado no solo cómo se componen las funciones, sino también la importancia de entender el dominio de estas composiciones.
Si estás interesado en profundizar más en el tema, existen numerosos recursos adicionales en línea y libros de texto que abarcan la materia de funciones y sus aplicaciones. Algunos de estos recursos pueden incluir:
- Videos educativos en plataformas como Khan Academy.
- Libros de álgebra avanzada que tienen secciones dedicadas a funciones y sus composiciones.
- Ejercicios interactivos en sitios web de tutoría matemática.
¡Con el tiempo y la práctica, dominarás la composición de funciones y estarás preparado para enfrentar problemas más complejos con confianza!