Suma de progresiones geométricas: ejercicios resueltos

La suma de progresiones geométricas es un concepto clave en matemáticas que permite calcular el total de elementos en una secuencia donde cada término se obtiene multiplicando el anterior por una razón común. Este tipo de progresiones no solo aparece en matemáticas puras, sino que también tiene aplicaciones en diversas áreas como finanzas, física y computación.

Además, incluiremos varios ejemplos que demuestran cómo aplicar estas fórmulas en distintos contextos y te proporcionaremos ejercicios prácticos que podrás resolver. Al final, tendrás una comprensión más sólida sobre la suma de progresiones geométricas y cómo se aplica en situaciones reales.

¿Qué es una progresión geométrica?

Una progresión geométrica es una secuencia de números donde cada término se obtiene multiplicando el término anterior por una misma constante, denominada razón común. Por ejemplo, en la secuencia 2, 6, 18, 54, cada número se multiplica por 3, que es la razón común. La fórmula general para el ( n )-ésimo término de una progresión geométrica se expresa como:

a_n = a * r^(n-1),

donde ( a ) es el primer término, ( r ) es la razón común y ( n ) es la posición del término en la secuencia. Las progresiones geométricas son fundamentales en diversos campos, como el cálculo de intereses compuestos, el crecimiento poblacional y la física.

Características de las progresiones geométricas

• Razón constante: Cada término se obtiene multiplicando el anterior por una cantidad constante.
• Proporcionalidad: Hay una constante multiplicativa que mantiene la proporción entre términos sucesivos.
• Creciente o decreciente: Dependiendo de si la razón común ( r ) es mayor o menor que 1, la progresión puede ser creciente o decreciente.
• Términos negativos: Una progresión geométrica puede incluir términos negativos si la razón común es negativa.
• Infinidad de términos: Las progresiones geométricas pueden extenderse indefinidamente o estar limitadas a un finito conjunto de términos.

Fórmulas para la suma de progresiones geométricas

Calcular la suma de progresiones geométricas implica utilizar fórmulas específicas que dependen de la razón común. Para sumar los primeros ( n ) términos (( S_n )) de una progresión geométrica, podemos emplear dos fórmulas dependiendo de si la razón ( r ) es diferente de 1:

Suma de los primeros n términos:

• Si ( r neq 1 ): S_n = a * (1 – rⁿ) / (1 – r)
• Si ( r = 1 ): S_n = n * a

Donde:

• ( S_n ) = Suma de los primeros ( n ) términos.
• ( a ) = Primer término de la progresión.
• ( r ) = Razón común.
• ( n ) = Número de términos a sumar.

Demostración de las fórmulas de suma

La demostración de las fórmulas de la suma de progresiones geométricas se lleva a cabo restando dos ecuaciones de la suma. Consideremos la suma de los primeros ( n ) términos de la progresión geométrica:

Sea S_n = a + ar + ar² + … + ar^(n-1)
Multiplicamos ambos lados por la razón ( r ):

rS_n = ar + ar² + ar³ + … + arⁿ

Ahora restamos estas dos ecuaciones:

S_n – rS_n = a – arⁿ

S_n (1 – r) = a (1 – rⁿ)

De aquí podemos despejar para encontrar la fórmula de la suma:

S_n = a (1 – rⁿ) / (1 – r)

Esto completa nuestra demostración para la suma cuando ( r neq 1 ).

Ejemplo 1: Suma de una progresión geométrica con razón positiva

Vamos a calcular la suma de progresiones geométricas con un ejemplo específico. Supongamos que tenemos la progresión 3, 6, 12, 24,… donde el primer término ( a = 3 ) y la razón común ( r = 2 ). Queremos sumar los primeros 5 términos.

Usando la fórmula mencionada anteriormente:

S_n = a * (1 – rⁿ) / (1 – r)

Reemplazamos los valores:

S₅ = 3 * (1 – 2⁵) / (1 – 2)

Resolviendo:

S₅ = 3 * (1 – 32) / (-1) = 3 * (-31) / (-1) = 93

Por lo tanto, la suma de los primeros 5 términos es 93.

Ejemplo 2: Suma de una progresión geométrica con razón negativa

Ahora veamos otro caso donde la razón común es negativa. Consideremos la progresión -2, 6, -18, 54,… en la que ( a = -2 ) y ( r = -3 ). Queremos sumar los primeros 4 términos.

Aplicamos la misma fórmula:

S_n = a * (1 – rⁿ) / (1 – r)

Insertamos los valores:

S₄ = -2 * (1 – (-3)⁴) / (1 – (-3))

Resolviendo:

S₄ = -2 * (1 – 81) / (1 + 3) = -2 * (-80) / 4 = 40

Por lo tanto, la suma de los primeros 4 términos es 40.

Ejemplo 3: Suma de una progresión geométrica con razón fraccionaria

Para este ejemplo, trabajaremos con una razón común fraccionaria. Consideremos la progresión 1, 1/2, 1/4, 1/8,… donde ( a = 1 ) y ( r = 1/2 ). Vamos a sumar los primeros 6 términos.

Utilizando la fórmula:

S_n = a * (1 – rⁿ) / (1 – r)

Insertamos los valores:

S₆ = 1 * (1 – (1/2)⁶) / (1 – 1/2)

Resolviendo:

S₆ = (1 – 1/64) / (1/2) = (63/64) * 2 = 63/32

Por lo tanto, la suma de los primeros 6 términos es 63/32.

Ejercicios prácticos para resolver

A continuación, se presentan algunos ejercicios prácticos que te ayudarán a afianzar tus conocimientos sobre la suma de progresiones geométricas.

1. Suma de los primeros 5 términos de la progresión 5, 15, 45, …
2. Suma de los primeros 3 términos de la progresión -4, 8, -16, …
3. Suma de los primeros 5 términos de la progresión 2, 1, 1/2, …
4. Suma de los primeros 4 términos de la progresión 7, -14, 28, …

Soluciones y explicaciones de los ejercicios

A continuación, se presentan las soluciones y explicaciones detalladas para cada uno de los ejercicios planteados.

Ejercicio 1

Para la progresión 5, 15, 45,… tenemos:

• Primer término ( a = 5 )
• Razón ( r = 3 )
• Número de términos ( n = 5 )

Usamos la fórmula:

S₅ = 5 * (1 – 3⁵) / (1 – 3) = 5 * (1 – 243) / (-2) = 5 * (-242) / (-2) = 605

Ejercicio 2

Para la progresión -4, 8, -16,… tenemos:

• Primer término ( a = -4 )
• Razón ( r = -2 )
• Número de términos ( n = 3 )

Usamos la fórmula:

S₃ = -4 * (1 – (-2)³) / (1 – (-2)) = -4 * (1 + 8) / 3 = -4 * 9 / 3 = -12

Ejercicio 3

Para la progresión 2, 1, 1/2,… tenemos:

• Primer término ( a = 2 )
• Razón ( r = 1/2 )
• Número de términos ( n = 5 )

Usamos la fórmula:

S₅ = 2 * (1 – (1/2)⁵) / (1 – (1/2)) = 2 * (1 – 1/32) / (1/2) = (63/32) * 2 = 63/16

Ejercicio 4

Para la progresión 7, -14, 28,… tenemos:

• Primer término ( a = 7 )
• Razón ( r = -2 )
• Número de términos ( n = 4 )

Usamos la fórmula:

S₄ = 7 * (1 – (-2)⁴) / (1 – (-2)) = 7 * (1 – 16) / 3 = 7 * (-15) / 3 = -35

Conclusiones sobre la suma de progresiones geométricas

La suma de progresiones geométricas es un método poderoso para calcular la totalidad de términos en una secuencia multiplicativa. Al realizar ejemplos específicos, se ha ilustrado la aplicación práctica de estas fórmulas en situaciones variadas, incluyendo razones positivas, negativas y fraccionarias.

Los ejercicios prácticos y sus soluciones proporcionan una excelente oportunidad para poner en práctica lo aprendido y asegurar que cada concepto esté bien asimilado. Dominar la suma de progresiones geométricas no solo es relevante en matemáticas, sino que también abre la puerta a diversas aplicaciones en el mundo real.

Recursos adicionales para profundizar en el tema

Para aquellos que deseen profundizar más en el tema de las progresiones geométricas y su suma, a continuación se enumeran algunos recursos útiles:

• Libros de texto de matemáticas: Busca libros que incluyan secciones sobre series y secuencias.
• Videos educativos: Plataformas como Khan Academy y YouTube ofrecen explicaciones visuales sobre este tema.
• Ejercicios en línea: Páginas web dedicadas a matemáticas como Brilliant.org ofrecen prácticas interactivas.
• Foros de matemáticas: Sitios como Stack Exchange permiten hacer preguntas y compartir conocimientos con otros estudiantes y profesionales.

Esperamos que este artículo sobre la suma de progresiones geométricas y los ejercicios resueltos haya sido de ayuda en tu proceso de aprendizaje.