Permutaciones con repetición: 10 ejercicios resueltos

Las permutaciones con repetición son un concepto fundamental dentro del campo de la combinatoria que resulta crucial para comprender cómo se organizan elementos en diferentes configuraciones. Este tipo de permutaciones se aplica en situaciones donde hay un conjunto de «n» elementos, algunos de los cuales pueden repetirse, y el orden en que se presentan estos elementos es relevante.

Es importante destacar que entender las permutaciones con repetición no solo es útil en el ámbito académico, sino también en aplicaciones cotidianas, desde la organización de datos hasta la combinación de letras en palabras. Al final, se incluirán recursos adicionales y recomendaciones para quienes deseen profundizar aún más en este tema fascinante.

Definición de permutaciones con repetición

Las permutaciones con repetición son aquellas que se producen cuando algunos elementos de un conjunto son idénticos. Esto significa que al calcular el total de configuraciones posibles, no contamos las repeticiones de los elementos, ya que el orden y la identidad de cada elemento importa. Por ejemplo, al considerar la palabra «BANANA», que tiene letras repetidas, debemos tener en cuenta cuántas veces aparece cada letra para calcular el número total de permutations.

Fórmula para calcular permutaciones con repetición

La fórmula de permutaciones con repetición se establece como sigue:

• Si hay «n» elementos en total y algunos de estos elementos se repiten, entonces el número de permutaciones con repetición se calcula usando la siguiente fórmula:

P(n; n1, n2, n3,…, nk) = n! / (n1! * n2! * n3! * … * nk!)

Donde:

• n! es el factorial de n.
• ni es el número de veces que se repite cada elemento particular.

Ejemplo 1: Permutaciones de la palabra «BANANA»

Consideremos la palabra «BANANA». En esta palabra, la letra A se repite 3 veces, la letra N se repite 2 veces y la letra B aparece una vez. El número total de letras es 6. Para calcular el número de permutaciones con repetición, usamos la fórmula mencionada anteriormente:

P(6; 3, 2, 1) = 6! / (3! * 2! * 1!)

Realizamos el cálculo:

• 6! = 720
• 3! = 6
• 2! = 2
• 1! = 1

Por lo tanto:

P(6; 3, 2, 1) = 720 / (6 * 2 * 1) = 720 / 12 = 60

Así que se pueden formar 60 diferentes permutaciones de la palabra «BANANA».

Ejemplo 2: Extracciones de bolas de colores

Imaginemos un escenario en el que tenemos una urna que contiene 3 bolas rojas y 2 bolas azules, y queremos calcular el número de maneras posibles de extraer estas bolas. Aquí, el total de bolas es 5 y debemos considerar las repeticiones de los colores. Aplicaremos la fórmula de permutaciones:

P(5; 3, 2) = 5! / (3! * 2!)

Realizamos el cálculo:

• 5! = 120
• 3! = 6
• 2! = 2

Por lo tanto:

P(5; 3, 2) = 120 / (6 * 2) = 120 / 12 = 10

Esto significa que hay 10 formas diferentes de extraer las bolas de colores de la urna.

Ejemplo 3: Permutaciones con elementos de un conjunto multiconjunto

Consideremos un conjunto multiconjunto formado por los elementos: {X, X, Y, Y, Y, Z}. Aquí, tenemos un total de 6 elementos donde X se repite 2 veces, Y se repite 3 veces y Z aparece 1 vez. Utilizando la fórmula de permutaciones, calculamos:

P(6; 2, 3, 1) = 6! / (2! * 3! * 1!)

Realizando el cálculo:

• 6! = 720
• 2! = 2
• 3! = 6

Por lo tanto:

P(6; 2, 3, 1) = 720 / (2 * 6 * 1) = 720 / 12 = 60

Así que hay 60 diferentes permutaciones con repetición de este conjunto.

Ejemplo 4: Uso de permutaciones en problemas de organización

Las permutaciones con repetición también son útiles en la organización de eventos o actividades. Imagina que tienes un grupo de 10 personas—5 hombres y 5 mujeres—y deseas formar un comité donde el orden de los miembros es importante. Si algunos de los miembros tienen el mismo rol, debemos tener en cuenta las repeticiones para calcular las diferentes configuraciones posibles. Si agrupamos y usamos la fórmula, podemos hallar el número de maneras de crear el comité considerando los roles.

Ejemplo 5: Resolución de permutaciones en combinaciones de letras

Cuando se plantea el problema de formar palabras o combinaciones de letras a partir de un conjunto dado, las permutaciones con repetición son indispensables. Por ejemplo, si queremos formar palabras con las letras {A, A, B, B, C}, aplicamos la fórmula de permutaciones para obtener el número total de combinaciones posibles. Resulta en:

P(5; 2, 2, 1) = 5! / (2! * 2! * 1!)

Ejemplo 6: Aplicación en criptografía

El campo de la criptografía también utiliza las permutaciones con repetición en el diseño de sistemas de cifrado. Por ejemplo, cuando se generan claves de cifrado, muchas veces se eligen caracteres de una lista donde algunos caracteres pueden repetirse. Al calcular cuántas combinaciones son posibles, la fórmula de permutaciones con repetición se convierte en una herramienta importante.

Ejemplo 7: Permutaciones en la creación de contraseñas

Otro ejemplo práctico se encuentra en la creación de contraseñas. Supón que deseas crear una contraseña que contenga letras y números, donde algunas letras pueden repetirse. Usando permutaciones con repetición, se puede calcular la cantidad total de contraseñas posibles basado en la longitud y la repetición de caracteres.

Ejemplo 8: Caso práctico en marketing y análisis de datos

En marketing, las permutaciones con repetición ayudan a determinar el número de combinaciones posibles de productos que se pueden ofrecer en un catálogo, especialmente si algunos de los productos tienen características similares o si un producto se puede presentar de diferentes maneras. Calculando estas combinaciones, las empresas pueden encontrar estrategias óptimas para presentar su oferta al consumidor.

Ejemplo 9: Problemas típicos de exámenes sobre permutaciones

En cursos de matemáticas, es común encontrar problemas en pruebas que requieren la aplicación de permutaciones con repetición. Por ejemplo, «¿Cuántas formas de organizar las letras de la palabra ‘ABBA’ existen?» Se resuelve utilizando la fórmula correspondiente, y este tipo de problemas se convierte en un ejercicio práctico valioso durante el aprendizaje.

Ejemplo 10: Soluciones y análisis de resultados

Al finalizar los ejercicios resueltos de permutaciones con repetición, es vital revisar las respuestas y entender los pasos seguidos. Esto no solo refuerza el aprendizaje, sino que también ayuda a identificar áreas en las que se necesita mejorar. Evaluar cada solución permite a los estudiantes adquirir una mayor confianza en su capacidad para resolver problemas similares en el futuro.

Conclusión y recursos adicionales

Las permutaciones con repetición son un tema esencial dentro de la combinatoria que se aplica en diversas áreas del conocimiento y situaciones cotidianas. Desde la formación de palabras hasta la creación de contraseñas y la organización de datos, el entendimiento de este concepto permite resolver problemas de una manera más eficiente.

Para aquellos interesados en profundizar más, se pueden encontrar recursos adicionales en línea, tales como videos tutoriales y ejercicios de práctica que se enfocan en las permutaciones con repetición y otros conceptos de combinatoria.

Recomendaciones para practicar más ejercicios de permutaciones con repetición

• Realizar ejercicios de libro o guías de estudio que se centren en permutaciones con repetición y permutaciones sin repetición.
• Participar en foros o grupos de estudio donde se discutan problemas de combinatoria.
• Utilizar aplicaciones en línea que ofrecen problemas interactivos para practicar este tipo de permutaciones.

Con la práctica, los conceptos de permutaion y la fórmula de permutaciones se harán mucho más claros y se evolucionarán en una habilidad que se puede aplicar en múltiples situaciones, tanto académicas como prácticas.