Integración por partes: Métodos y ejercicios resueltos

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La integración por partes es un método fundamental en el cálculo integral que permite resolver integrales complejas mediante la descomposición de productos de funciones. Este método no solo facilita el cálculo de integrales, sino que también proporciona un marco estratégico para elegir adecuadamente las variables (u) y (dv), garantizando así la simplificación del proceso.

Además, se abordarán casos especiales, incluyendo integrales cíclicas y consejos para evitar errores comunes durante los cálculos. Al finalizar, esperamos que esta guía completa te sirva como un recurso valioso para afianzar tus conocimientos sobre la integración por partes y potencialmente mejorar tus habilidades en la resolución de integrales por partes.

¿Qué es la integración por partes?

La integración por partes es un método derivado de la regla del producto de la derivada. Se utiliza principalmente para encontrar la integral de un producto de dos funciones. La fórmula básica de la integración por partes es la siguiente:

[ int u , dv = uv – int v , du ]

Donde (u) es una función elegida que se derivará, y (dv) es la parte de la función que se integrará. La elección adecuada de estas funciones es crucial para simplificar el cálculo de la integral resultante. La estrategia sigue consistiendo en seleccionar (u) y (dv) de modo que el proceso resulte en una integral más fácil de manejar.

Fundamento teórico del método

El principio de la integración por partes proviene de la diferenciación del producto de dos funciones. Específicamente, si tenemos dos funciones (u(x)) y (v(x)), su derivada se expresa como:

[ frac{d}{dx}(uv) = u frac{dv}{dx} + v frac{du}{dx} ]

Al reordenar esta ecuación, podemos aislar el término de integral:

[ u frac{dv}{dx} = frac{d}{dx}(uv) – v frac{du}{dx} ]

Integrando ambos lados respecto a (x) se deriva la forma general de la integración por partes, permitiéndonos expresar la integral de un producto de dos funciones (u) y (dv).

Elección estratégica de (u) y (dv)

La elección de las funciones (u) y (dv) es crítica para que la técnica de integración por partes sea efectiva. Generalmente, se recomienda seguir la regla LIATE, que sugiere que se debe preferir en el siguiente orden:

  • Logarítmicas
  • Inversas
  • Algébricas
  • Trigonométricas
  • Exponenciales

Siguiendo esta jerarquía, se eligen (u) y (dv) de manera que al derivar (u) se obtenga una función de menor grado o complejidad. Por ejemplo, al elegir (u) como una función polinómica y (dv) como una función exponencial, tendemos a simplificar el resultado final.

Pasos para aplicar la integración por partes

  1. Seleccionar (u) y (dv): Elige (u) y (dv) siguiendo la regla LIATE y asegúrate de que al derivar y al integrar se simplifiquen las funciones.
  2. Calcular (du) y (v): Deriva (u) para obtener (du) e integra (dv) para encontrar (v).
  3. Sustitución en la fórmula: Aplica la fórmula de integración por partes:
  4. [ int u , dv = uv – int v , du ]

  5. Resolver la integral Resultante: Resuelve la integral que queda para obtener el resultado final.
  6. Incluir la constante de integración: No olvides añadir la constante de integración (C) al final.

Ejercicios resueltos: Integral 1

Consideraremos la integral (int x e^x , dx). Siguiendo los pasos de la integración por partes, elegimos:

  • (u = x ) (Rightarrow du = dx)
  • (dv = e^x , dx Rightarrow v = e^x)

Aplicamos la fórmula:

[ int x e^x , dx = x e^x – int e^x , dx ]

Resolviendo la integral restante, obtenemos:

[ x e^x – e^x + C Rightarrow (x – 1)e^x + C]

Ejercicios resueltos: Integral 2

Ahora resolveremos la integral (int x ln(x) , dx). Seleccionamos:

  • (u = ln(x) Rightarrow du = frac{1}{x} dx)
  • (dv = x , dx Rightarrow v = frac{x^2}{2})

Aplicamos la fórmula:

[ int x ln(x) , dx = frac{x^2}{2} ln(x) – int frac{x^2}{2} cdot frac{1}{x}dx ]

Esto se simplifica a:

[ frac{x^2}{2} ln(x) – frac{1}{2} int x , dx]

Resolviendo la última integral:

[ frac{x^2}{2} ln(x) – frac{x^2}{4} + C]

Ejercicios resueltos: Integral 3

Tomemos ahora la integral (int x sin(x) , dx). Escogemos:

  • (u = x Rightarrow du = dx)
  • (dv = sin(x) , dx Rightarrow v = -cos(x))

Usamos la fórmula:

[ int x sin(x) , dx = -x cos(x) – int -cos(x) , dx]

Esto resulta en:

[ -x cos(x) + int cos(x) , dx = -x cos(x) + sin(x) + C]

Ejercicios resueltos: Integral 4

Vamos a resolver la integral (int x^2 e^x , dx). La elección es:

  • (u = x^2 Rightarrow du = 2x , dx)
  • (dv = e^x , dx Rightarrow v = e^x)

Aplicamos la fórmula:

[ int x^2 e^x , dx = x^2 e^x – int e^x cdot 2x , dx ]

Ahora resolvemos la integral (int 2x e^x , dx) usando integración por partes nuevamente:

  • (u = 2x Rightarrow du = 2 , dx)
  • (dv = e^x , dx Rightarrow v = e^x)

Esto se convierte en:

[ int 2x e^x , dx = 2x e^x – int 2 e^x , dx = 2x e^x – 2e^x]

Finalmente, combinamos ambos resultados:

[ int x^2 e^x , dx = x^2 e^x – (2x e^x – 2e^x) = (x^2 – 2x + 2)e^x + C]

Ejercicios resueltos: Integral 5

Para la integral (int x cos(x) , dx), elegimos:

  • (u = x Rightarrow du = dx)
  • (dv = cos(x) , dx Rightarrow v = sin(x))

Usamos la fórmula de integración por partes:

[ int x cos(x) , dx = x sin(x) – int sin(x) , dx]

Resolviendo la integral resultante, obtenemos:

[ x sin(x) + cos(x) + C]

Ejercicios resueltos: Integral 6

Ahora abordemos la integral (int e^{2x} sin(x) , dx). En este caso, seleccionamos:

  • (u = sin(x) Rightarrow du = cos(x) , dx)
  • (dv = e^{2x} , dx Rightarrow v = frac{1}{2} e^{2x})

Aplicando la fórmula:

[ int e^{2x} sin(x) , dx = frac{1}{2} e^{2x} sin(x) – int frac{1}{2} e^{2x} cos(x) , dx]

Este proceso puede repetirse para la integral de (cos(x)) con un manejo similar.

Continuaremos con más integrales abordando cada caso adecuadamente. La práctica a través de ejemplos surge como una herramienta valiosa para afianzar la técnica de integración por partes. A medida que avancemos, los ejercicios presentados demostrarán la diversidad de funciones que pueden ser tratadas mediante este método.

Ejercicios resueltos: Integral 7

Para la integral (int x tan(x) , dx), consideremos la elección:

  • (u = x Rightarrow du = dx)
  • (dv = tan(x) , dx Rightarrow v = -ln|cos(x)|)

La aplicación de la fórmula permite:

[ int x tan(x) , dx = -x ln|cos(x)| + int ln|cos(x)| , dx]

Ejercicios resueltos: Integral 8

Ahora tomaremos la integral (int x^3 e^x , dx). Elegimos:

  • (u = x^3 Rightarrow du = 3x^2 , dx)
  • (dv = e^x , dx Rightarrow v = e^x)

Esto conduce a:

[ int x^3 e^x , dx = x^3 e^x – int 3x^2 e^x , dx]

Repetimos el proceso para la integral de (3x^2 e^x) y así sucesivamente hasta llegar a un resultado final.

Ejercicios resueltos: Integral 9

Ahora consideraremos la integral (int ln(x^2) , dx). Utilizamos:

  • (u = ln(x^2) Rightarrow du = frac{2}{x}dx)
  • (dv = dx Rightarrow v = x)

De esta elección, resultará:

[ int ln(x^2) , dx = x ln(x^2) – int x cdot frac{2}{x} , dx]

Resolviendo, llegamos a:

[ x ln(x^2) – 2x + C]

Ejercicios resueltos: Integral 10

Ahora abordaremos la integral (int x^2 ln(x) , dx). Para ello, optamos por:

  • (u = ln(x) Rightarrow du = frac{1}{x} dx)
  • (dv = x^2 , dx Rightarrow v = frac{x^3}{3})

Aplicando la fórmula, encontramos:

[ int x^2 ln(x) , dx = frac{x^3}{3} ln(x) – int frac{x^3}{3} cdot frac{1}{x} dx]

Lo que se simplifica a:

[ frac{x^3}{3} ln(x) – frac{1}{3} int x^2 , dx]

Finalmente se resuelve la última integral:

[ frac{x^3}{3} ln(x) – frac{x^3}{9} + C]

Ejercicios resueltos: Integral 11

Evaluaremos ahora la integral (int sin(2x) cos(3x) , dx). Para ello, seleccionamos:

  • (u = sin(2x) Rightarrow du = 2cos(2x) , dx)
  • (dv = cos(3x) Rightarrow v = frac{1}{3} sin(3x))

Entonces, aplicamos la integración por partes:

[ int sin(2x) cos(3x) , dx = frac{1}{3} sin(2x) sin(3x) – int frac{2}{3} sin(3x) cos(2x) , dx]

Resolviendo la última integral bajo una nueva aplicación del método, continuamos hasta obtener el resultado final.

Ejercicios resueltos: Integral 12

Abordaremos ahora la integral (int x^2 e^{3x} , dx). Escogemos:

  • (u = x^2 Rightarrow du = 2x , dx)
  • (dv = e^{3x} , dx Rightarrow v = frac{1}{3} e^{3x})

Aplicamos la fórmula:

[ int x^2 e^{3x} , dx = frac{1}{3} x^2 e^{3x} – frac{2}{3} int x e^{3x} , dx]

Nuevamente, se requerirá integrar por partes para resolver la última integral.

Ejercicios resueltos: Integral 13

Tomaremos la integral (int x^3 sin(x) , dx). Optamos por:

  • (u = x^3 Rightarrow du = 3x^2 , dx)
  • (dv = sin(x) , dx Rightarrow v = -cos(x))

Aplicando la integración por partes, obtenemos:

[ int x^3 sin(x) , dx = -x^3 cos(x) + 3 int x^2 cos(x) , dx]

Continuaremos aplicando el método hasta descomponer completamente la integral.

Ejercicios resueltos: Integral 14

Consideraremos ahora (int x ln(x) e^x , dx). Para esto elegimos:

  • (u = ln(x) Rightarrow du = frac{1}{x} , dx)
  • (dv = x e^x , dx Rightarrow v = e^x(x – 1))

Aquí procederemos a aplicar la fórmula:

[ int x ln(x) e^x , dx = e^x(x ln(x) – x + 1) – int e^x (x – 1) cdot frac{1}{x} , dx]

Ejercicios resueltos: Integral 15

Ahora evalúaremos (int x^2 cos(2x) , dx). En este caso, la elección es:

  • (u = x^2 Rightarrow du = 2x , dx)
  • (dv = cos(2x) , dx Rightarrow v = frac{1}{2} sin(2x))

Aplicamos la fórmula:

[ int x^2 cos(2x) , dx = frac{1}{2} x^2 sin(2x) – int sin(2x) x , dx]

De nuevo, se requerirá otra aplicación del método para lograr resolver la integral residual.

Ejercicios resueltos: Integral 16

En este caso, resolveremos (int e^{2x}sin(x) , dx) usando:

  • (u = sin(x) Rightarrow du = cos(x) , dx)
  • (dv = e^{2x} , dx Rightarrow v = frac{1}{2} e^{2x})

Aplicamos la fórmula:

[ int e^{2x} sin(x) , dx = frac{1}{2} e^{2x} sin(x) – int frac{1}{2} e^{2x} cos(x) , dx]

Ejercicios resueltos: Integral 17

Consideramos (int x^2 tan(x) , dx), donde elegimos:

  • (u = x^2 Rightarrow du = 2x , dx)
  • (dv = tan(x) , dx Rightarrow v = -ln|cos(x)|)

Aplicamos la fórmula de integración por partes:

[ int x^2 tan(x) , dx = -x^2 ln|cos(x)| + int 2x ln|cos(x)| , dx]

Ejercicios resueltos: Integral 18

A contemplar (int ln(x) , dx), con:

  • (u = ln(x) Rightarrow du = frac{1}{x} , dx)
  • (dv = dx Rightarrow v = x)

Usamos la fórmula:

[ int ln(x) , dx = x ln(x) – int x cdot frac{1}{x} , dx]

Que resulta en:

[ x ln(x) – x + C]

Ejercicios resueltos: Integral 19

Resolvemos ahora la integral (int e^{3x} cos(2x) , dx). Seleccionando:

  • (u = cos(2x) Rightarrow du = -2sin(2x) , dx)
  • (dv = e^{3x} , dx Rightarrow v = frac{1}{3} e^{3x})

Aplicamos la fórmula:

[ int e^{3x} cos(2x) , dx = frac{1}{3} e^{3x} cos(2x) + frac{2}{3} int e^{3x} sin(2x) , dx]

Ejercicios resueltos: Integral 20

Finalmente, abordaremos la integral (int x e^{2x} sin(3x) , dx). Para esta elección consideramos:

  • (u = x Rightarrow du = dx)
  • (dv = e^{2x} sin(3x) , dx)

Aplicamos la fórmula de integración por partes:

[ int x e^{2x} sin(3x) , dx = x left( frac{1}{2}e^{2x} sin(3x) – frac{3}{13} e^{2x} cos(3x) right) – int left( frac{1}{2}e^{2x} sin(3x) – frac{3}{13} e^{2x} cos(3x) right), dx]

Casos de integrales cíclicas

Las integrales cíclicas a menudo implican funciones que regresan a su forma original tras múltiples aplicaciones del método de integración por partes. Estas integrales requieren destreza, pues pueden reintroducir términos previamente integrados, por lo que se debe despejar correctamente la integral para conseguir resolverlas.

Consejos para evitar complicaciones en los cálculos

Al trabajar con integrales por partes, considera las siguientes recomendaciones:

  • Seleccionar adecuadamente (u) y (dv): La elección correcta simplifica el proceso.
  • Revisar los pasos: Verifica tus cálculos para evitar errores comunes.
  • Práctica constante: La práctica ayuda a solidificar el entendimiento y a familiarizarse con distintos tipos de integrales.

Conclusiones y reflexiones finales

La integración por partes es un método poderoso y versátil para resolver integrales de productos de funciones. La clave para dominar el método radica en la elección segura de las funciones (u) y (dv) para simplificar el proceso de integración, así como en la práctica de resolver varios tipos de integrales.

Recursos adicionales para la práctica

Para continuar mejorando en el cálculo de integrales por partes, te recomendamos explorar libros de cálculo y plataformas de aprendizaje en línea donde encontrarás más ejemplos y ejercicios resueltos. La práctica constante y la revisión de problemas anteriores reforzarán tus habilidades en la integración por partes y garantizarán que te sientas seguro en su aplicación en problemas más complejos de matemáticas.

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