Integración por partes: Ejercicios resueltos detallados

La integración por partes es una técnica fundamental en el cálculo integral que permite resolver integrales donde se tiene el producto de dos funciones. Este método es particularmente útil cuando nos enfrentamos a integrales que no son directamente integrables, pero que se pueden simplificar al aplicar la regla de integración por partes.

En este recorrido, aprenderás sobre los principios detrás de la integración por partes, así como a aplicar la fórmula específica para llevar a cabo este método de manera efectiva. Presentaremos ejemplos concretos y ejercicios resueltos que detallan cada paso del proceso. En particular, nos enfocaremos en asegurar que los lectores puedan llevarse herramientas prácticas y teóricas para abordar con éxito la integración por partes ejercicios resueltos.

¿Qué es la integración por partes?

La integración por partes es un método derivado de la regla del producto en cálculo diferencial. Este método se utiliza para integrar el producto de dos funciones, donde una de las funciones es más fácil de derivar y la otra más fácil de integrar. La regla se puede expresar de la siguiente manera:

[
int u , dv = uv – int v , du
]

En esta fórmula, ( u ) es una función que elegimos como «más fácil» de derivar y ( dv ) es la parte del integrando que será integrada. El éxito en la aplicación de este método radica en la elección adecuada de ( u ) y ( dv ). Una elección inadecuada puede complicar la integral en lugar de simplificarla, por lo que es crucial practicar y familiarizarse con esta técnica a través de integrales por partes ejercicios resueltos.

La fórmula de integración por partes

La fórmula de integración por partes, como se destacó antes, se deriva de la integración de la derivada del producto de dos funciones. Esta fórmula se utiliza para facilitar el cálculo integral. Para aplicarla, debemos seguir estos pasos:

1. Elegir la función ( u ) y la función ( dv ).
2. Diferenciar ( u ) para encontrar ( du ).
3. Integrar ( dv ) para encontrar ( v ).
4. Sustituir en la fórmula y simplificar la integral resultante.

Cuando se aplica correctamente, el método de integración por partes puede transformar una integral complicada en otra más sencilla. Esto es especialmente evidente en los ejercicios resueltos de integral por partes que veremos más adelante.

Elegir las funciones u y dv

La elección de ( u ) y ( dv ) es un aspecto clave del método. Generalmente, se recomienda seguir el siguiente orden a la hora de seleccionar ( u ):

• Logarítmica (ej. ( ln(x) ))
• Inversa trigonométrica (ej. ( arctan(x) ))
• Polinómica (ej. ( x^n ))
• Exponencial o trigonométrico (ej. ( e^x ), ( sin(x) ), ( cos(x) ))

Elija ( dv ) como la parte que puede ser fácilmente integrada. La correcta selección de estas funciones puede simplificar enormemente el proceso de integración, como demostramos en los siguientes ejemplos de integral por partes ejercicios resueltos.

Ejercicio 1: (int x cos x , dx)

Vamos a resolver la integral (int x cos x , dx) usando el método de integración por partes. Sigamos los pasos que hemos discutido anteriormente.

Solución detallada del ejercicio 1

1. «Elegimos ( u ) y ( dv )»:

Sea ( u = x ) y ( dv = cos x , dx ).

2. «Calculamos ( du ) y ( v )»:

• ( du = dx )
• ( v = int cos x , dx = sin x )

3. «Aplicamos la fórmula de integración por partes»:

[
int x cos x , dx = uv – int v , du
]

Esto nos da:

[
int x cos x , dx = x sin x – int sin x , dx
]

4. «Integramos (int sin x , dx)»:

Sabemos que (int sin x , dx = -cos x).

5. «Expresamos la solución completa»:

[
int x cos x , dx = x sin x + cos x + C
]

Ejercicio 2: (int e^x sin x , dx)

Ahora, resolveremos la integral (int e^x sin x , dx) también utilizando el método de integración por partes.

Solución detallada del ejercicio 2

1. «Elegimos ( u ) y ( dv )»:

Sea ( u = sin x ) y ( dv = e^x , dx ).

2. «Calculamos ( du ) y ( v )»:

• ( du = cos x , dx )
• ( v = int e^x , dx = e^x)

3. «Aplicamos la fórmula de integración por partes»:

[
int e^x sin x , dx = e^x sin x – int e^x cos x , dx
]

4. «Ahora, necesitamos resolver la integral (int e^x cos x , dx)». Usamos nuevamente integración por partes:

Sea ( u = cos x ) y ( dv = e^x , dx ). Siguiendo el mismo procedimiento:

1. ( du = -sin x , dx)
2. ( v = e^x)
3. Aplicando la fórmula:

end{ol}

[
int e^x cos x , dx = e^x cos x + int e^x sin x , dx
]

5. «Sustituimos de nuevo la integral»:

[
int e^x sin x , dx = e^x sin x – (e^x cos x + int e^x sin x , dx)
]

6. «Reorganizamos la ecuación y resolvemos»:

[
int e^x sin x , dx + int e^x sin x , dx = e^x sin x – e^x cos x
]
[
2int e^x sin x , dx = e^x (sin x – cos x)
]
[
int e^x sin x , dx = frac{e^x}{2} (sin x – cos x) + C
]

Ejercicio 3: (int ln(x) , dx)

Por último, resolvamos la integral (int ln(x) , dx) utilizando integración por partes.

Solución detallada del ejercicio 3

1. «Elegimos ( u ) y ( dv )»:

Sea ( u = ln(x) ) y ( dv = dx ).

2. «Calculamos ( du ) y ( v )»:

• ( du = frac{1}{x} , dx)
• ( v = int dx = x)

3. «Aplicamos la fórmula de integración por partes»:

[
int ln(x) , dx = x ln(x) – int x left( frac{1}{x} , dx right)
]

Esto se simplifica a:

[
int ln(x) , dx = x ln(x) – int dx
]
[
int ln(x) , dx = x ln(x) – x + C
]

Ejercicios propuestos para practicar

Ahora que has visto varios ejemplos de integración por partes ejercicios resueltos, es momento de practicar. Aquí tienes algunos ejercicios propuestos:

1. (int x e^x , dx)
2. (int tan(x) , dx)
3. (int x^2 ln(x) , dx)

Recuerda aplicar la técnica de integral por partes para resolver cada uno de estos ejercicios. Elige las funciones ( u ) y ( dv ) con cuidado y aplica la fórmula correspondiente.

Consejos para una selección efectiva de u y dv

La elección de ( u ) y ( dv ) es crucial para el éxito en la integración por partes. Aquí hay algunos consejos adicionales:

• Practica el orden de elección: Familiarízate con el orden preferido de selección de funciones: logarítmicas, inversas trigonométricas, polinómicas y exponenciales.
• Intenta simplificar: Si la elección original de ( u ) y ( dv ) no lleva a una integral manejable, prueba diferentes combinaciones.
• Verifica tu trabajo: Siempre que obtengas una solución, verifica si derivar la parte de la solución que está relacionada con ( u ) puede llevar de vuelta al original.

Conclusiones sobre la integración por partes

La integración por partes es una herramienta esencial en el cálculo integral, especialmente útil para resolver integrales que involucran el producto de dos funciones. Los integrales por partes ejercicios resueltos presentados Al practicar esta técnica y considerar cuidadosamente la elección de ( u ) y ( dv ), los estudiantes pueden llegar a dominar la técnica de integral por partes ejercicios resueltos.

Recuerda que la práctica constante es clave para mejorar tus habilidades. No dudes en revisar los ejercicios propuestos y los ejemplos anteriores para mejorar tu comprensión de este método.

Recursos adicionales y referencias

Para aquellos que deseen profundizar en el tema de la integración por partes, se sugieren los siguientes recursos:

• Khan Academy, sección de Integrales
• Wolfram Alpha para ejemplos de integrales
• Sitios de tutoriales de matemáticas

Dominar la integración por partes y practicar a través de integracion por partes ejercicios resueltos es crucial para cualquier estudiante de cálculo que busque realizar cálculos integrales más complejos.¡Feliz integración!

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