Función cuadrática: Ejercicios resueltos para 3 ESO

En el ámbito de las matemáticas, uno de los temas que despierta un gran interés y curiosidad en estudiantes de 3º de ESO son las funciones cuadráticas. A menudo, este tipo de funciones se presentan en diversos problemas en los que se busca entender el comportamiento de fenómenos naturales o situaciones cotidianas que pueden modelarse matemáticamente. No obstante, enfrentarse a problemas de función cuadrática puede ser un desafío. Por eso,

Además, realizaremos una serie de ejercicios de funciones cuadráticas, explicando cada paso del proceso para que puedas seguirlo fácilmente. Todos estos elementos te permitirán adquirir las herramientas necesarias para despejar cualquier duda que tengas sobre este tema, y así, podrás resolver tanto ejercicios de función cuadrática como las versiones más desafiantes que podrían aparecer en un examen.

¿Qué es una función cuadrática?

Una función cuadrática es un tipo de función polinómica de segundo grado que se puede expresar mediante la fórmula:

f(x) = ax² + bx + c, donde a, b y c son números reales, y a ≠ 0.

En esta ecuación, x es la variable independiente, mientras que f(x) es el valor de la función cuadrática para un determinado x. Las funciones cuadráticas se caracterizan por graficarse como parábolas que pueden abrirse hacia arriba o hacia abajo, dependiendo del valor de a.

Características de la función cuadrática

Las funciones cuadráticas tienen varias características que es importante conocer:

• Vértice: Es el punto máximo o mínimo de la parábola. Se puede calcular utilizando la fórmula x = -b/(2a).
• Raíces o ceros: Son los puntos donde la parábola intersecta el eje x. Se pueden hallar utilizando la fórmula cuadrática.
• Apertura: Si a > 0, la parábola tiene forma de «U» y se abre hacia arriba; si a < 0, se abre hacia abajo.
• Eje de simetría: La parábola es simétrica respecto a una línea vertical que pasa por el vértice, cuyo valor de x es -b/(2a).

Fórmula general de la función cuadrática

La fórmula general para encontrar las raíces de una función cuadrática se expresa como:

x = (-b ± √(b² – 4ac)) / (2a)

Donde el discriminante D = b² – 4ac determina la naturaleza de las raíces:

• Si D > 0, hay dos raíces reales diferentes.
• Si D = 0, hay una raíz real (raíz doble).
• Si D < 0, no hay raíces reales.

Cómo graficar funciones cuadráticas

Para graficar una función cuadrática, debemos seguir algunos pasos:

1. Identificar los coeficientes a, b, y c de la ecuación.
2. Calcular el vértice utilizando la fórmula previamente mencionada.
3. Calcular las raíces de la función utilizando la fórmula general si es necesario.
4. Trazar la parábola usando el vértice y las raíces, asegurándose de que la parábola tenga la apertura correcta (hacia arriba o hacia abajo según el signo de a).

Ejercicios resueltos paso a paso

Ejercicio 1: Encontrar las raíces de la función cuadrática

Consideremos la función cuadrática f(x) = 2x² – 4x – 6. Queremos encontrar sus raíces.

1. Identificamos los coeficientes: a = 2, b = -4, c = -6.
2. Calculamos el discriminante: D = b² – 4ac = (-4)² – 4 * 2 * (-6) = 16 + 48 = 64.
3. Como D > 0, procederemos a calcular las raíces:
4. x = (-(-4) ± √64) / (2 * 2) = (4 ± 8) / 4.

Esto nos da dos raíces:

• x₁ = (4 + 8) / 4 = 3
• x₂ = (4 – 8) / 4 = -1

Por lo tanto, las raíces de la función cuadrática son x = 3 y x = -1.

Ejercicio 2: Análisis de la parábola

Analicemos la función cuadrática g(x) = -x² + 2x + 3.

1. Identificamos los coeficientes: a = -1, b = 2, c = 3.
2. Calculamos el vértice: x = -2 / (2 * -1) = 1.
3. Calculamos el valor de g(1): g(1) = -1² + 2(1) + 3 = 4. El vértice es el punto (1,4).
4. Calculamos las raíces usando la fórmula general.

Ya que el discriminante D = 2² – 4(-1)(3) = 4 + 12 = 16 es positivo, tenemos:

• x₁ = (2 + 4) / -2 = 3
• x₂ = (2 – 4) / -2 = -1

Entonces, las raíces de la parábola son x = 3 y x = -1, y el vértice es el punto (1,4).

Ejercicio 3: Aplicaciones de la función cuadrática

Un ejemplo común de problemas de función cuadrática es el cálculo de áreas y maximización. Supongamos que un jardín tiene un área cuadrada de 20 m² y que se desea expandir 2 m por cada lado. La nueva área es:

A(x) = (x + 2)(x + 2) = x² + 4x + 4

Utilizando este modelo, podemos aplicar ejercicios de función cuadrática para encontrar el área más grande posible o los límites del jardín.

Consejos para resolver problemas de funciones cuadráticas

Cuando te enfrentes a problemas de funciones cuadráticas, considera seguir estos consejos:

• Identifica siempre los coeficientes a, b y c antes de proceder.
• Calcula el discriminante para comprender la cantidad y el tipo de soluciones que tendrás.
• Si es necesario, utiliza gráficos para visualizar la solución del problema.
• Practica con ejercicios de función cuadrática variados para familiarizarte con diferentes tipos de problemas.

Conclusión

Las funciones cuadráticas son un pilar fundamental en matemáticas que permite modelar y resolver muchos problemas del mundo real. Los ejercicios de funciones cuadráticas que hemos resuelto paso a paso te proporcionan una buena base para tratar de forma efectiva cualquier problema de función cuadrática que se presente en tus estudios.

Practicando diferentes ejercicios de funciones cuadráticas, lograrás aportar confianza a tus habilidades matemáticas y mejorar tu comprensión de conceptos más avanzados que se presentarán en los próximos niveles. No dudes en consultar recursos adicionales y materiales en formato PDF disponibles en línea para seguir practicando y asegurarte de tener una sólida comprensión sobre el tema.

Recursos adicionales y práctica recomendada

Para profundizar en este importante tema, recomendamos los siguientes recursos:

• Libros de texto de matemáticas de 3º de ESO que incluyen ejercicios de funciones cuadráticas.
• Plataformas en línea que ofrecen funciones cuadráticas ejercicios resueltos pdf para estudiar.
• Grupos de estudio donde se debatan y resuelvan problemas de funciones cuadráticas.

Queremos que este artículo te sirva como una guía útil para dominar el tema de las funciones cuadráticas. Al sumar esfuerzos en el estudio y la práctica, lograrás convertirte en un experto capaz de resolver cualquier ejercicio de función cuadrática que se cruce en tu camino. ¡Sigue practicando y aprendiendo!