Ejercicios resueltos sobre funciones cuadráticas

En el curso de Cálculo, uno de los temas más importantes que se trata es la función cuadrática, una de las bases del análisis matemático. La función cuadrática tiene la forma ax² + bx + c, donde a, b y c son números reales y a es distinto de cero. Esta función se caracteriza por su forma parabólica, lo que resulta fundamental en estudios posteriores de matemáticas y en la comprensión de fenómenos del mundo real.

En este recorrido, nos enfocaremos en las diferentes formas de representar la función cuadrática, así como en conceptos clave como el vértice, el eje de simetría y las intersecciones de la parábola con los ejes coordenados. Además, se desglosará el proceso de graficar este tipo de funciones, y se presentarán una serie de ejercicios resueltos sobre funciones cuadráticas para ilustrar cada paso de manera clara. Al final, incluiremos un reto final que invitará a los lectores a aplicar lo aprendido y fortalecer su comprensión en el tema.

Definición de funciones cuadráticas

Una función cuadrática es una relación matemática que puede representarse por un polinomio de segundo grado, generalmente definido como f(x) = ax² + bx + c. En esta ecuación, a representa el coeficiente cuadrático, b el coeficiente lineal y c el término independiente. La característica más notable de una función cuadrática es su gráfica, que siempre tiene forma de parábola.

La parábola puede abrirse hacia arriba si el coeficiente a es positivo, o hacia abajo si a es negativo. Esto es esencial para el análisis del comportamiento de la función y su interpretación gráfica. Además, en la función cuadrática, se encuentran dos soluciones (o raíces) que representan los puntos donde la parábola corta el eje x. Estos puntos son fundamentales en la resolución de ecuaciones y en la identificación de valores máximos o mínimos de la función.

Formas de representación de funciones cuadráticas

Las funciones cuadráticas se pueden representar de distintas maneras, cada una de las cuales ofrece ventajas diferentes según el contexto. Las dos formas más comunes son:

Forma estándar

La forma estándar de la función cuadrática es f(x) = ax² + bx + c. Esta forma es útil cuando queremos identificar los coeficientes y analizar sus efectos en la forma general de la parábola, así como en la localización de sus raíces.

Forma canónica

La forma canónica es de la forma f(x) = a(x – h)² + k, donde (h, k) es el vértice de la parábola. Esta representación es especialmente útil para graficar la función, ya que permite identificar rápidamente el vértice y el eje de simetría, que coincide con la línea vertical que pasa por el vértice; en este caso, x=h.

Conceptos clave: vértice, eje de simetría e intersecciones

Vértice

El vertice de la función cuadrática es un punto de suma importancia, ya que representa el valor máximo o mínimo de la función, dependiendo de si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo. En la forma canónica, el vértice se encuentra fácilmente en la coordenada (h, k).

Eje de simetría

El eje de simetría es la línea vertical que divide la parábola en dos partes iguales. En una función cuadrática, esta línea se encuentra en la x igual al valor de h del vértice. Es de vital importancia para comprender la simetría de la parábola y para graficar correctamente la función.

Intersecciones

• Intersección con el eje y: Esto ocurre cuando x=0. Se calcula substituyendo 0 en la ecuación f(x) = a(0)² + b(0) + c = c, lo que da la coordenada (0, c).
• Intersecciones con el eje x: Estas son las raíces de la ecuación ax² + bx + c = 0, que pueden determinarse usando la fórmula cuadrática: x = (-b ± √(b² – 4ac)) / 2a.

Cómo graficar funciones cuadráticas: pasos a seguir

Para graficar una función cuadrática, se deben seguir algunos pasos fundamentales que asegurarán una representación precisa de la parábola:

1. Identificar el vértice: Determine el vértice usando la forma canónica de la función.
2. Calcular el eje de simetría: La línea vertical que pasa por el vértice será el eje de simetría.
3. Calcular intersecciones: Encuentra las intersecciones con los ejes x y y usando los métodos mencionados anteriormente.
4. Trazar el vértice y las intersecciones: Coloca los puntos obtenidos en un plano cartesiano.
5. Dibujar la parábola: Une los puntos con una curva suave para formar la parábola. Asegúrate de mantener la simetría.

Ejercicios resueltos: ejemplos ilustrativos

A continuación, se presentan una serie de ejercicios de función cuadrática resueltos que ilustran cada aspecto aprendido hasta ahora:

Ejemplo 1

Consideremos la función cuadrática definida por f(x) = 2x² – 4x + 1. Sigamos los pasos para graficarla:

• Vértice: Usando la fórmula canónica, encontramos h = -(-4)/(2*2) = 1 y sustituyéndolo en la función, k = f(1) = 2(1)² – 4(1) + 1 = -1. Por lo tanto, el vértice es (1, -1).
• Eje de simetría: La ecuación del eje de simetría es x = 1.
• Intersección con el eje y: Al poner x = 0 en la ecuación, obtenemos f(0) = 1, así que la intersección es (0, 1).
• Intersecciones con el eje x: Usando la fórmula cuadrática, encontramos las raíces: x = (4 ± √((4)² – 4*2*1)) / (2*2). Calculando, obtenemos x = 2.5 y x = -0.5.

Con esta información, trazamos los puntos en el gráfico y dibujamos la parábola.

Ejemplo 2

Ahora consideramos la función cuadrática f(x) = -3x² + 6x + 9. Repetimos el proceso:

• Vértice: h = -6/(-6) = 1, k = f(1) = -3(1)² + 6(1) + 9 = 12. El vértice es (1, 12).
• Eje de simetría: El eje es x = 1, y la parábola abre hacia abajo.
• Intersecciones con el eje y: f(0) = 9, entonces la intersección es (0, 9).
• Intersecciones con el eje x: Solucionando la ecuación, x = (6 ± √((6)² – 4*(-3)*9)) / (2*(-3)). Obtenemos raíces en x = 3 y x = 1.

Finalmente, marcamos los puntos y graficamos esta parábola.

Problemas de aplicación de funciones cuadráticas

Las funciones cuadráticas tienen aplicaciones muy amplias en el ámbito real. Veamos algunos ejemplos de cómo utilizarlas para resolver problemas:

Ejemplo 1: Máximo de una función

Supongamos que una empresa produce un artículo y la función de ingresos está dada por R(x) = -2x² + 20x, donde x es la cantidad de productos vendidos. ¿Cuál es el máximo ingreso posible?

Para determinar el máximo, encontramos el vértice de la función. Sabemos que el punto máximo ocurre en x = -20 / (-2) = 10. Entonces, sustituimos para encontrar R(10) = -2(10)² + 20(10) = 100. El máximo ingreso es 100.

Ejemplo 2: Trayectoria de un proyectil

Imaginemos que lanzamos un proyectil en el aire, y su trayectoria puede describirse con la función h(t) = -5t² + 20t. Encuentra la altura máxima que alcanzará el proyectil.

El vértice es clave aquí. Calculamos la altura máxima cuando t = -20 / (-10) = 2. Entonces h(2) = -5(2)² + 20(2) = 20. Por lo tanto, el proyectil alcanzará una altura máxima de 20 metros.

Ejemplos de exámenes de admisión relacionados

En los exámenes de admisión, es común encontrar preguntas relacionadas con funciones cuadráticas. A continuación, se presentan algunos ejemplos que podrían aparecer.

Pregunta de selección múltiple

¿Cuál es el vértice de la función cuadrática f(x) = x² – 6x + 8?

• A) (3, -1)
• B) (3, -6)
• C) (2, 2)
• D) (2, 5)

Respuesta correcta: A. Calculando el vértice, encontramos que h = 3 y al sustituir f(3), obtenemos -1.

Pregunta de verdadero/falso

La parábola de la función cuadrática siempre tiene un máximo si a > 0.

Respuesta: Falso. Si a > 0, la parábola abre hacia arriba, lo que trae un mínimo, no un máximo.

Conversión de forma polinómica a forma canónica

La conversión de una función cuadrática de su forma polinómica a forma canónica a menudo se realiza a través del método de completar el cuadrado.

Por ejemplo, consideremos la función f(x) = x² + 6x + 8. Para convertirla:

1. Tomamos el término cuadrático: x² + 6x.
2. Completamos el cuadrado: x² + 6x + (6/2)² – (6/2)² = (x + 3)² – 9.
3. Sumamos el resto de la ecuación: f(x) = (x + 3)² – 9 + 8 = (x + 3)² – 1.

Esto nos da la forma canónica f(x) = (x + 3)² – 1, identificando el vértice en (-3, -1).

Reto final: aplicando lo aprendido

Para cerrar el tema, propongo un reto: Resuelve los siguientes problemas para aplicar lo aprendido sobre funciones cuadráticas:

1. Encuentra el vértice y gráfico de la función f(x) = -2x² + 4x + 6.
2. Usa la forma estándar de la función f(x) = 5x² – 10x + 3 para determinar si hay intersecciones con el eje x.
3. Convierte la función g(x) = x² + 8x + 15 a su forma canónica y encuentra su vértice.

Conclusiones y recursos adicionales

Las funciones cuadráticas son un tema clave en matemáticas que abre las puertas a muchas áreas, desde la física hasta la economía. El conocimiento de sus propiedades, su representación gráfica y su aplicación práctica es esencial para cualquier estudiante de cálculo.

Recomiendo el uso de recursos adicionales como libros de matemáticas, plataformas en línea y funciones cuadráticas ejercicios resueltos pdf para profundizar en el aprendizaje de este tema. Con práctica continua, cualquier estudiante puede dominar las funciones cuadráticas y sus aplicaciones.