Función continua: Definición y ejercicios resueltos

La continuidad de una función es un concepto fundamental en el estudio del análisis matemático que se relaciona directamente con la forma en que una función puede representarse gráficamente. Una función continua es aquella que no presenta saltos, huecos o discontinuidades en su dominio. Esto significa que, al trazar la gráfica de funcion continua, se puede recorrer el gráfico de un extremo a otro sin levantar el lápiz del papel. Comprender cuándo una función es continua no solo es esencial para el estudio de la matemática pura, sino que también tiene aplicaciones prácticas en diversas áreas como la ingeniería y las ciencias físicas.

También resolveremos ejercicios que ilustran cómo determinar la continuidad de funciones específicas y analizaremos las funciones discontinuas. Además, se presentarán técnicas útiles para evaluar la continuidad de una función en un punto y en todo su dominio. Así, el lector podrá adquirir una comprensión clara y concisa sobre cuando una función es continua y como saber si una función es continua.

¿Qué es una función continua?

Una función continua es una función matemática que no presenta interrupciones en su curva. Formalmente, una función (f) se dice que es continua en un punto (x = a) si se cumplen las siguientes condiciones:

• La función (f(a)) está definida.
• El límite de (f(x)) cuando (x) se aproxima a (a) existe.
• El límite de (f(x)) al acercarse a (a) es igual al valor de la función en ese punto: (lim_{x to a} f(x) = f(a)).

Si cualquiera de estas condiciones no se cumple, diremos que la función es discontinua en (a). Así, la continuidad de una función es un tema esencial en el análisis matemático, ya que permite determinar comportamientos predecibles de funciones en todo su dominio.

Condiciones de continuidad

Para que una función sea considerada continua en un punto específico, es necesario comprobar las condiciones mencionadas anteriormente. Vamos a desglosar cada una de estas condiciones a continuación:

1. La función está definida

El primer paso para verificar la continuidad de una función en un punto específico es asegurarnos de que la función tiene un valor definido en ese punto. Si (f(a)) no está definido, entonces no podemos hablar de continuidad en (a).

2. Existencia del límite

El siguiente paso es verificar que el límite de la función exista al aproximarse al punto (a). Esto significa que los límites laterales (izquierdo y derecho) deben ser iguales. Si el límite no existe, la función es discontinua.

3. Igualdad entre límite y valor de la función

Finalmente, debemos comprobar que el valor de la función en (a) es igual al límite que se obtiene al acercarnos a (a). Si esto se cumple, podemos afirmar que la función es continua en ese punto.

Tipos de funciones continuas

Existen varias clasificaciones de funciones continuas, dependiendo de sus características. A continuación, discutiremos algunos tipos de continuidad de una función que son comúnmente estudiados:

1. Funciones continuas en todo su dominio

Estas funciones son continuas en todos los puntos de su dominio. Un ejemplo clásico es el polinomio (f(x) = x^2), que es continua para todos los números reales.

2. Funciones continuas a trozos

Estas funciones son definidas por diferentes expresiones en diferentes intervalos. Por ejemplo, una función que es lineal en un intervalo y cuadrática en otro. La continuidad debe verificarse en los puntos donde cambian las expresiones.

3. Funciones racionales

Las funciones racionales son la razón de dos polinomios. Estas pueden ser continuas en todos los puntos excepto en aquellos donde el denominador es cero, ya que en esos puntos la función no estará definida.

4. Funciones irracionales

Las funciones que involucran raíces cuadradas o de mayor grado pueden ser continuas en sus dominios, siempre que el radicando sea no negativo.

Ejemplos de funciones continuas

A continuación, se presentan varios ejemplos de funciones continuas para ilustrar cómo interactúan las condiciones de continuidad.

Ejemplo 1: Polinomios

La función (f(x) = x^3 – 3x^2 + 4) es un polinomio y, por lo tanto, es continua en su dominio completo, que son todos los números reales.

Ejemplo 2: Función racional

La función (g(x) = frac{1}{x-2}) es continua para todos los números reales excepto en (x = 2), donde presenta una discontinuidad debido a que el denominador se anula.

Ejemplo 3: Función a trozos

Consideremos la función continua a trozos definida por:

• (h(x) = x + 2) si (x < 1)
• (h(x) = 3) si (x = 1)
• (h(x) = x^2) si (x > 1)

Para que (h(x)) sea continua, debemos verificar que (lim_{x to 1^-} h(x) = h(1)) y (lim_{x to 1^+} h(x) = h(1)). En este caso, se puede demostrar que (h(x)) es continua en todo su dominio.

Ejemplos de funciones discontinuas

A veces, es útil observar ejemplos de funciones discontinuas. Estas funciones presentan al menos un punto en su dominio donde la continuidad no se cumple.

Ejemplo 1: Función escalonada

La función de salto, la cual se define como:

• (j(x) = x) si (x < 0)
• (j(x) = 2) si (x = 0)
• (j(x) = x + 1) si (x > 0)

Es una función discontinua en (x = 0) porque el valor de la función en ese punto es 2, que no coincide con el límite al acercarse desde la izquierda.

Ejemplo 2: Función racional discontinua

La función (k(x) = frac{x^2 – 1}{x-1}) es discontinua en (x = 1) debido a que el denominador se anula en ese punto. Sin embargo, se puede factorizar y simplificar a (k(x) = x + 1) en otros valores de (x).

Ejercicios resueltos sobre continuidad

Para ayudar a cimentar el aprendizaje sobre la continuidad de funciones, a continuación se presentan algunos ejercicios resueltos que destacan cómo determinar la continuidad y la discontinuidad en funciones específicas.

Ejercicio 1: Determinar la continuidad en un polinomio

Verificamos la continuidad de la función (f(x) = x^3 – 5x + 2) en (x = 1):

1. Calcular (f(1)): (f(1) = 1^3 – 5(1) + 2 = -2).
2. Calcular el límite: (lim_{x to 1} f(x) = 1^3 – 5(1) + 2 = -2).
3. Como (f(1) = lim_{x to 1} f(x)), la función es continua en (x = 1).

Ejercicio 2: Evaluación de una función a trozos

Comprobamos la continuidad de la siguiente función a trozos:

• (h(x) = 2x + 1) si (x < 3)
• (h(x) = 5) si (x = 3)
• (h(x) = x^2 – 2) si (x > 3)

Para (x = 3):

1. Calcular (h(3) = 5).
2. Calcular el límite izquierdo: (lim_{x to 3^-} h(x) = 2(3) + 1 = 7).
3. Calcular el límite derecho: (lim_{x to 3^+} h(x) = 3^2 – 2 = 7).

Dado que los límites laterales no son iguales, la función es discontinua en (x = 3).

Análisis de funciones a trozos

El análisis de funciones a trozos es crucial en el estudio de la continuidad. Estas funciones pueden presentar discontinuidades en los puntos donde existen cambios en su definición. Para analizar la continuidad, uno debe verificar las condiciones de continuidad en cada punto de transición.

Continuidad de funciones racionales

Como se mencionó anteriormente, las funciones racionales son continuas en todo su dominio, excepto en los puntos donde el denominador se anula. Esto es crucial para determinar la continuidad y discontinuidad de este tipo de funciones.

El papel de los límites en la continuidad

Los límites son fundamentales para establecer continuidad de funciones. Un correcto manejo de los límites nos permite evaluar si una función es continua en un punto particular de su dominio. Sin la evaluación de los límites, sería imposible clasificar adecuadamente las funciones como continuas o discontinuas.

Resumen y conclusiones

También exploramos los distintos tipos de funciones continuas y discontinuas, dando ejemplos concretos para ilustrar cada caso. Los ejercicios resueltos proporcionan una práctica valiosa para que los lectores comprendan cómo verificar la continuidad de una función en diferentes escenarios. El estudio de la continuidad de funciones es esencial para el análisis matemático y tiene implicaciones en muchas disciplinas. Entender cuando una función es continua y como saber si una función es continua, es parte clave en la formación matemática de los estudiantes.