Distribución normal: ejercicios resueltos para entenderla

La distribución normal, también conocida como distribución de Gauss o gaussiana, es una de las distribuciones más relevantes en el campo de la estadística y tiene un papel crucial en la comprensión de diversos fenómenos naturales y sociales. Su forma característica de campana y su solidez teórica han llevado a su utilización en una amplia variedad de áreas, como la psicología, la biología, la economía y muchas más. A través de esta distribución, se modelan variables como la estatura de una población, los errores de medición y la temperatura, entre otros ejemplos que podemos observar en nuestro entorno. La aplicación de la distribución normal es fundamental para el análisis estadístico y para la toma de decisiones basada en datos.

También abordaremos la conversión a la variable estandarizada, el uso de la tabla z y proporcionaremos ejercicios de distribución normal, con soluciones que facilitarán el entendimiento del tema. Al final, los lectores estarán mejor equipados para aplicar este conocimiento en situaciones prácticas y encontrarán recursos adicionales para seguir aprendiendo sobre la distribución normal.

¿Qué es la distribución normal?

La distribución normal es una función de probabilidad que describe cómo se distribuyen los valores de una variable aleatoria en torno a su media. Esta distribución es crucial en la estadística porque muchas variables tienden a distribuciones normales bajo ciertas condiciones. Un fenómeno clave de la distribución normal es que es completamente definida por dos parámetros: la media (µ) y la desviación estándar (σ). Estos parámetros determinan la posición y la forma de la curva de distribución.

Características de la distribución normal

Entre las características más relevantes de la distribución normal, se destacan las siguientes:

• Simetría: La distribución normal es simétrica respecto a la media, lo que significa que la mitad de los valores se encuentran por encima de la media y la otra mitad por debajo.
• Cada extremo de la curva se aproxima a cero: A medida que nos alejamos de la media en ambas direcciones, la probabilidad de encontrar valores extremos disminuye.
• Área total igual a uno: El área bajo la curva, que representa la probabilidad total, es igual a 1, lo que implica que la suma de todas las probabilidades es igual a 100%.
• Regla empírica: Aproximadamente el 68% de los datos se encuentran dentro de una desviación estándar (σ) de la media, el 95% dentro de dos desviaciones estándar y el 99.7% dentro de tres desviaciones estándar (esto es conocido como la regla empírica).

Parámetros clave: media y desviación estándar

La media (µ) es el valor central de la distribución normal, donde se concentran la mayoría de los datos. El segundo parámetro, la desviación estándar (σ), mide la dispersión de los datos respecto a la media. Cuando la desviación estándar es baja, los datos están muy concentrados alrededor de la media, mientras que si es alta, los datos están más dispersos. Juntos, estos dos parámetros forman la base para la generación de la distribución normal y su representación gráfica.

Importancia de la distribución normal en estadística

La distribución normal tiene una importancia crucial en la estadística por varias razones. En primer lugar, muchos métodos estadísticos y pruebas están basados en la suposición de que los datos siguen una distribución normal. Por ejemplo, la inferencia estadística y la construcción de intervalos de confianza, así como las pruebas de hipótesis, se basan en este supuesto. Además, la distribución normal es una herramienta que permite simplificar problemas complejos, ya que muchas variables tienden a distribuirse de manera normal en grandes muestras.

Conversión a la variable estandarizada (z)

Para trabajar con la distribución normal, es frecuentemente necesario convertir los datos a una variable estandarizada (z). Esta conversión se logra utilizando la siguiente fórmula:

z = (X – µ) / σ

• X es el valor que se desea convertir.
• µ es la media de la distribución normal.
• σ es la desviación estándar de la distribución normal.

La variable z permite comparar diferentes datos de diversas distribuciones en función de su desviación estándar, llevando a una representación estandarizada que facilita el cálculo de probabilidades.

Uso de la tabla z para calcular probabilidades

Una vez que se ha convertido a la variable estandarizada, se puede usar la tabla z, una herramienta que ofrece las probabilidades acumuladas para la distribución normal. Este procedimiento se puede resumir en los siguientes pasos:

1. Calcular la variable estandarizada (z).
2. Consultar la tabla z para obtener la probabilidad asociada a ese valor.
3. Interpretar la probabilidad de acuerdo al contexto del problema.

La tabla z muestra las áreas bajo la curva hasta el valor z, lo que facilita la comprensión de las probabilidades en relación con la distribución normal.

Ejercicios resueltos: nivel básico

A continuación, se presentarán ejercicios de distribución normal de nivel básico que ayudarán a los lectores a aplicar lo aprendido sobre la distribución normal.

Ejercicio 1

Supongamos que la estatura de los hombres en una determinada ciudad requiere de una distribución normal con una media (µ) de 175 cm y una desviación estándar (σ) de 10 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que un hombre seleccionado al azar tenga una estatura menor a 180 cm?

Primeramente, comenzamos convirtiendo el valor 180 cm a z usando la fórmula de distribución normal:

z = (180 – 175) / 10 = 0.5

Consultando la tabla z, encontramos que el área acumulada para z = 0.5 es de aproximadamente 0.6915. Esto significa que hay aproximadamente un 69.15% de probabilidad de que un hombre seleccionado al azar tenga una estatura menor a 180 cm.

Ejercicio 2

Consideremos que el tiempo que tardan los empleados en completar una tarea sigue una distribución normal con una media (µ) de 30 minutos y una desviación estándar (σ) de 5 minutos. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado tarde más de 35 minutos?

Primero, calculamos la variable z:

z = (35 – 30) / 5 = 1

Buscando en la tabla z, encontramos que para z = 1, el área acumulada es de aproximadamente 0.8413. Para encontrar la probabilidad complementaria, restamos esta cantidad de 1:

1 – 0.8413 = 0.1587

Por lo tanto, hay aproximadamente un 15.87% de probabilidad de que un empleado tarde más de 35 minutos.

Ejercicios resueltos: nivel intermedio

A continuación, se presentarán ejercicios de distribución normal de nivel intermedio.

Ejercicio 3

Imagina que las notas en un examen siguen una distribución normal con una media (µ) de 75 puntos y una desviación estándar (σ) de 10 puntos. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante seleccionado al azar obtenga una nota entre 70 y 80 puntos?

Comenzamos calculando las variables z para ambos valores:

z1 = (70 – 75) / 10 = -0.5
z2 = (80 – 75) / 10 = 0.5

Consultando la tabla z, obtenemos:

• Para z1 = -0.5, área acumulada ≈ 0.3085
• Para z2 = 0.5, área acumulada ≈ 0.6915

Ahora, restamos para encontrar la probabilidad entre estos dos valores:

P(70 < X < 80) = P(z2) - P(z1) = 0.6915 - 0.3085 = 0.3830

Esto implica que hay aproximadamente un 38.30% de probabilidad de que un estudiante obtenga una nota entre 70 y 80 puntos.

Ejercicio 4

Supongamos que están estudiando el peso de una población de adultos que sigue una distribución normal con media (µ) de 80 kg y desviación estándar (σ) de 15 kg. ¿Cuál es la probabilidad de que un adulto aleatorio pese menos de 65 kg?

Calculamos la z para 65 kg:

z = (65 – 80) / 15 ≈ -1

Buscando en la tabla z para z = -1, encontramos aproximadamente 0.1587. Así que hay un 15.87% de probabilidad de que un adulto pese menos de 65 kg.

Ejercicios resueltos: nivel avanzado

A continuación, se presentarán ejercicios de distribución normal de nivel avanzado para desafiar el conocimiento adquirido.

Ejercicio 5

En un taller de fabricación, se ha determinado que la duración de vida de un producto sigue una distribución normal con una media (µ) de 2000 horas y una desviación estándar (σ) de 300 horas. Calcular la probabilidad de que un producto seleccionado al azar tenga una duración de vida mayor a 2500 horas.

Calculamos el valor z:

z = (2500 – 2000) / 300 ≈ 1.67

Consultando la tabla z, el área acumulada para z = 1.67 es aproximadamente 0.9525. Para encontrar la probabilidad complementaria:

1 – 0.9525 = 0.0475

Esto implica que hay un 4.75% de probabilidad de que un producto dure más de 2500 horas.

Ejercicio 6

Ahora, supongamos que el tiempo de espera en un consultorio médico sigue una distribución normal con media (µ) de 12 minutos y desviación estándar (σ) de 3 minutos. ¿Cuál es la probabilidad de que un paciente espere entre 10 y 15 minutos?

Calculemos z para los dos extremos:

z1 = (10 – 12) / 3 ≈ -0.67
z2 = (15 – 12) / 3 = 1

Buscando en la tabla z:

• Área acumulada para z1 ≈ 0.2514
• Área acumulada para z2 ≈ 0.8413

Ahora hallamos la probabilidad entre estos valores:

P(10 < X < 15) = P(z2) - P(z1) = 0.8413 - 0.2514 = 0.5899

Esto significa que hay un 58.99% de probabilidad de que un paciente espere entre 10 y 15 minutos.

Aplicaciones prácticas de la distribución normal

La distribución normal no solo es una herramienta teórica, sino que también tiene aplicaciones prácticas en varios campos. A continuación se presentan algunas de estas aplicaciones:

• Pruebas de calidaddistribución normal puede ser utilizada en el control de calidad para determinar si los productos fabricados cumplen con las especificaciones establecidas, utilizando métodos como la prueba de hipótesis.
• Análisis de mercado: Las distribuciones normales son usadas en estadísticas para analizar datos de ventas y evaluar tendencias en el comportamiento del consumidor.
• Investigación científica: Las distribuciones gaussianas son utilizadas en la investigación para modelar fenómenos naturales y comportamientos de variables.
• Medicina y salud pública: En salud, se utiliza la distribución normal para analizar datos epidemiológicos, como la distribución de ciertos marcadores de salud en la población.

Conclusiones y aprendizaje de la distribución normal

La distribución normal es un concepto fundamental dentro de la estadística que no solo ofrece una comprensión de cómo se distribuyen ciertas variables, sino que también proporciona un marco poderoso para el análisis y la inferencia estadística. Ahora, los lectores están mejor capacitados para aplicar estos conocimientos en diversos contextos y para analizar datos utilizando la distribución normal.

Además, aprender a utilizar tablas z y entender cómo estandarizar variables son habilidades clave que enriquecen la interpretación de datos en la práctica estadística. Animamos a los lectores a practicar más con ejercicios de distribución normal y buscar más ejemplos para reforzar su comprensión y dominio del tema.

Recursos adicionales para profundizar en el tema

Para aquellos que deseen profundizar en el estudio de la distribución normal, se ofrecen los siguientes recursos:

• Libros de texto sobre estadística: Libros como «Estadística» de David S. Moore brindan un gran inicio para entender las bases de la distribución normal.
• Cursos en línea: Plataformas como Coursera y edX ofrecen cursos sobre estadísticas que incluyen módulos sobre la distribución normal.
• Simuladores en línea: Existen herramientas interactivas que permiten practicar y visualizar la distribución gaussiana.

La distribución normal es un aspecto crucial de la estadística que ayuda a los profesionales en diversas áreas a modelar y analizar datos. Con la práctica y el estudio continuos, cualquier persona puede mejorar su comprensión y habilidades en este tema.